1143.最长公共子序列
思路：
本题和动态规划：718. 最长重复子数组 (opens new window)区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即：“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
2.确定递推公式
- text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 - text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，
- text1[0, i - 2]与text2[0, j - ]的最长公共子序列
- text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列
- 取最大的，即
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
3.dp数组如何初始化
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0
4.确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
5.举例推导dp数组
以输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例，dp状态如图：
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
len1, len2 = len(text1)+1, len(text2)+1
dp = [[0 for _ in range(len1)] for _ in range(len2)] # 先对dp数组做初始化操作
for i in range(1, len2):
for j in range(1, len1): # 开始列出状态转移方程
if text1[j-1] == text2[i-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[-1][-1]
1035.不相交的线
class Solution:
def maxUncrossedLines(self, A: List[int], B: List[int]) -> int:
dp = [[0] * (len(B)+1) for _ in range(len(A)+1)]
for i in range(1, len(A)+1):
for j in range(1, len(B)+1):
if A[i-1] == B[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[-1][-1]
53. 最大子序和
思路：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。
2.确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
- dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
- nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
3.dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
4.确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
5.举例推导dp数组
以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下： 
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
if len(nums) == 0:
return 0
dp = [0] * len(nums)
dp[0] = nums[0]
result = dp[0]
for i in range(1,len(nums)):
dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])
result = max(result, dp[i])
return result
