线性空间、线性运算

线性空间，也称向量空间。

假设是一个非空集合，是一个实数域。

在中定义了一个加法：即对中任何两个元素和，总有中另外一个元素与它们相对应，称为和的和，记作：

在定义了一个数乘：即对实数域任何一个数和中任何一个元素，总有中另外一个元素与它们相对应，称为和的数乘，记作：

上面定义的加法与数乘要满足下面8条规律：

1. 元素：即对中的任何元素，
2. 负元素：即对对中的任何元素，总存在中另外一个元素，满足，称为的负元素。
3. 元素：即对中的任何元素，总有，称为中的元素。
4. 加法交换律：
5. 加法结合律：
6. 数乘结合律：
7. 数乘分配律：
8. 数乘分配律：

满足上面8条运算规律的加法与数乘运算称为线性运算。

称为实数域上的线性空间（也称向量空间），V中的元素称为向量。即定义了线性运算的集合就是向量空间。