傅里叶变换的离散性与周期性

2023年11月21日
#elecEngeneer

---

---

1. 符号说明

$$\begin{array}{rl}t& \text{ : 连续时间(时域)变量}\\ \omega & \text{ : 频域变量，aka角频率}\\ g& \text{ : 时域函数}\\ G& \text{ : 频域函数}\\ n& \text{ : 时域采样序列序号}\\ k& \text{ : 频域采样序列序号}\\ T_p& \text{ : 时域函数的周期，单位s}\\ T_s& \text{ : 时域采样周期，时间序列的间隔，单位s}\\ {\omega }_p& \text{ : 频域函数的周期，单位rad/s}\\ {\omega }_s& \text{ : 频域采样周期，频率序列的间隔，单位rad/s，也是傅里叶变换的分辨率}\\ N& \text{ : 采样序列长度}\\ \text{频谱}& \text{ : 频域函数的幅度图像}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{傅里叶变换 : Fourier Transform, FT}\\ & \text{离散时间傅里叶变换 : Discrete Time Fourier Transform, DTFT}\\ & \text{傅里叶级数 : Fourier Series, FS}\\ & \text{离散傅里叶变换 : Discrete Fourier Transform, DFT}\end{array}$$
通过傅里叶级数，我们可以发现连续周期函数可以转换为一系列离散频率的波的叠加。
通过Z变换，我们可以发现时域的离散序列可以表示为频域里连续的周期函数。
我们可以发现傅里叶变换的一个对称性；
$$\text{离散}\leftrightarrow \text{周期}$$
时域离散，则频域周期；
时域周期，则频域离散；
时域非离散非周期，频域非离散非周期；
时域离散且周期，频域也离散且周期；
下面来具体分析一下这种对称性。

---

2. 具体分析

先从连续时间与连续频率出发，即一般的傅里叶变换
$$G(\omega )\stackrel{\text{ FT }}{=}{\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$$
$$g(t)\stackrel{\text{ IFT }}{=}{\int }_{-\infty }^{\infty }G(\omega )e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega$$
时域非离散非周期，频域非离散非周期。下面对时域信号进行采样，采样周期 $T_s$ ，采样 $N$ 个点。则
$$g(t)\to g(n{T}_s),n=0,1,2,\cdots ,N-1$$
$$g(n{T}_s)=\sum _{n=0}^{N-1}g(t)\delta (n{T}_s)$$
$g(n{T}_s)$ 相当于从连续函数转化成了一系列冲激函数的叠加。将其代入一般的傅里叶变换，就得到了离散时间傅里叶变换（DTFT）的公式，或者说Z变换，对应离散时间与连续周期频率。
$$\begin{array}{rl}G(\omega )\stackrel{\text{ DTFT }}{=}& {\int }_0^{(N-1)T_s}g(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t,t=n{T}_s\\ & \\ =& g(0)e^{-j0}+g(T)e^{-j\omega T_s}+g(2T)e^{-j\omega 2T_s}+\cdots +g((N-1)T)e^{-j\omega (N-1)T_s}\\ & \\ =& \sum _{n=0}^{N-1}g(n{T}_s)e^{-j\omega n{T}_s}\end{array}$$
DTFT的频谱是连续的，频谱的周期通过观察DTFT的公式得到
$$G(\omega )=G(\omega +{\omega }_p)$$
$$\begin{array}{r}\omega n{T}_s=\omega n{T}_s+2\pi n=(\omega +\frac{2\pi }{T_s})n{T}_s=(\omega +{\omega }_p)n{T}_s\end{array}$$
$${\omega }_p=\frac{2\pi }{T_s}\text{\hspace{1em}(1)}$$
这个式子说明了傅里叶变换频域函数的周期与时域采样周期的关系。
再看傅里叶级数，傅里叶级数对应连续周期时间与离散频率，使用 $T_p$ 为周期的时域周期函数，则
$$g(t)=g(t+T_p)$$
由傅里叶反变换的公式，有
$$e^{j\omega t}=e^{j\omega (t+T_p)}$$
$$\therefore \omega T_p=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$
$$\omega =\frac{2\pi }{T_p}k$$
$${\omega }_s=\frac{2\pi }{T_p}\text{\hspace{1em}(2)}$$
这个式子说明了傅里叶变换时域函数的周期与频域采样周期的关系。
$$\therefore G(\omega )\to G(k{\omega }_s)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }G(\omega )\delta (k{\omega }_s)$$
代入傅里叶反变换的公式，就得到了周期信号傅里叶级数（Fourier Series）的公式：
$$\begin{array}{rl}g(t)\stackrel{\text{ FS }}{=}& {\int }_{-\infty }^{\infty }G(\omega )e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega ,\omega =k{\omega }_s\\ & \\ =& \sum _{k=-\infty }^{\infty }G(k{\omega }_s)e^{jk{\omega }_{s}t}\end{array}$$
将DTFT的有限长时间序列做为无限长周期时间序列的其中一个周期，即延拓成周期序列，再做傅里叶变换，得到的应该是离散且有周期性的频谱。这个变换就是离散傅里叶变换（DFT）。
综合式子（1）到（2），有：
$$\begin{array}{r}\frac{1}{T_s}=\frac{{\omega }_p}{2\pi }\\ \frac{1}{T_p}=\frac{{\omega }_s}{2\pi }\end{array}\text{\hspace{1em}(1)(2)}$$
可以知道，时域一个周期内的离散点数量等于频域一个周期内的离散点数量，即
$$\frac{T_p}{T_s}=\frac{{\omega }_p}{{\omega }_s}=N\text{\hspace{1em}(3)}$$
所以我们只关注其中一个周期。设从 $0$ 开始一个周期内有 $N$ 个点，则
$$\omega =0,\frac{2\pi }{T_p},\frac{2\pi }{T_p}\times 2,\cdots ,\frac{2\pi }{T_p}\times k,\cdots ,\frac{2\pi }{T_p}\times (N-1)$$
代入DTFT的公式，就得到DFT的公式：
$$\begin{array}{rl}G(k{\omega }_s)\stackrel{\text{ DFT }}{=}& \sum _{n=0}^{N-1}g(n{T}_s)e^{-j\frac{2\pi }{T_p}kn{T}_s}\\ & \\ =& \sum _{n=0}^{N-1}g(n{T}_s)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

---

3. 序列的序号表示的DFT

通过序列的序号表示DFT，即
$$\begin{array}{r}g(n{T}_s)\to g[n]\\ \\ G(k{\omega }_s)\to G[k]\end{array}$$
设从 $0$ 开始一个周期内有 $N$ 个点，则
$$T_s^{\prime }=1,{\omega }_p^{\prime }=2\pi$$
$$T_p^{\prime }=N,{\omega }_s^{\prime }=\frac{2\pi }{N}$$
从而可以推出序列序号表示DFT的时间、频率与真实时间、频率之间的关系：
$$T_s=\frac{T_p}{N}{T}_s^{\prime }$$
$${\omega }_s=\frac{N}{T_p}{\omega }_s^{\prime }$$
$$T_p=\frac{T_p}{N}{T}_p^{\prime }$$
$${\omega }_p=\frac{N}{T_p}{\omega }_p^{\prime }$$
序列序号表示的DFT如下：
$$G[k]\stackrel{\text{ DFT }}{=}\sum _{n=0}^{N-1}g[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn},k=0,1,\cdots ,N-1$$
第 $n$ 个点的真实时间为
$$n{T}_s=n\frac{T_p}{N}$$
第 $k$ 个点的真实频率为
$$k{\omega }_s=k\frac{N}{T_p}\cdot \frac{2\pi }{N}=k\frac{2\pi }{T_p}$$

---

下链

[[DFT与FFT]]

---