SVD 最小二乘法解 亲测ok!

线性最小二乘问题

m个方程求解n个未知数,有三种情况:

  1. m=n且A为非奇异,则有唯一解,x=A.inverse()*b
  2. m>n,约束的个数大于未知数的个数,称为超定问题(overdetermined)
  3. m<n,负定/欠定问题(underdetermined)

通常我们遇到的都是超定问题,此时Ax=b的解是不存在的,从而转向解最小二乘问题:

J(x)为凸函数,一阶导数为0,得到:

,称之为正规方程

一般解:

奇异值分解与线性最小二乘问题

列满秩,A的奇异值分解:(公式1)

其中U和V为半酉阵,分别满足

其中,这里的几个符号的大小:U:m\timesm   :n\timesn   V:n\timesn

注意:为什么这里是n\timesn,是因为我上面写的公式1中UGV,G=,G的尺寸是m\times

为 U 的 前 n 列矩阵,即

则:

等号当且仅

时成立,所以:

这就是我们千辛万苦要求的线性最小二乘问题的解!!!

用eigen库计算的例子:

    //Ax=b
    MatrixXd A= MatrixXd::Zero(15,8);
    Eigen::JacobiSVD<MatrixXd> svd(A, Eigen::ComputeFullU | Eigen::ComputeFullV);

    Eigen::Matrix<double, 15, 15> U = svd.matrixU();
    Eigen::Matrix<double, 8, 8> V = svd.matrixV();
    Eigen::Matrix<double, 8, 8> Gama = svd.singularValues().asDiagonal();
        
    Eigen::Matrix<double, 15, 1> b;
    Eigen::Matrix<double, 8, 1> x = V * Gama.inverse()*(U.block<15,8>(0,0).transpose())*b;

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