1. 题目链接：62. 不同路径

2. 题目描述：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

解法1（暴力搜索）：

【由于复杂度太高会超时】

算法思路：

1. 递归含义：给dfs一个使命，给他一个下标，返回从[0,0]位置走到[i,j]位置一共有多少种方法

2. 函数体：只要知道到达上面位置的方法数以及到达左边位置的方法数，然后累加起来即可

3. 递归出口：当下标越界的时候返回0；当前位于起点的时候，返回1

C++算法代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        return dfs(m,n);
    }
    int dfs(int i,int j)
    {
        if(i==0||j==0) return 0;
        if(i==1&&j==1) return 1;
        return dfs(i-1,j)+dfs(i,j-1);
    }
};

解法2（记忆化搜索）：

算法思路：

1. 加上一个备忘录
2. 每次进入递归的时候，去备忘录看看
3. 每次返回的时候，将结果加入到备忘录里面

C++算法代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> memo(m+1, vector<int>(n+1)); // 创建一个二维数组memo，用于存储已经计算过的路径数
        return dfs(m, n, memo); // 调用深度优先搜索函数dfs，传入参数m、n和memo
    }
    int dfs(int i, int j, vector<vector<int>>& memo) {
        if (memo[i][j] != 0) { // 如果memo[i][j]不为0，说明已经计算过这个位置的路径数，直接返回memo[i][j]
            return memo[i][j];
        } 
        if (i == 0 || j == 0) return 0; // 如果i或j为0，说明已经到达边界，无法继续前进，返回0
        if (i == 1 && j == 1) { // 如果i和j都为1，说明已经到达终点，返回1
            memo[i][j] = 1;
            return 1;
        }
        memo[i][j] = dfs(i - 1, j, memo) + dfs(i, j - 1, memo); // 递归计算从当前位置向上和向左移动的路径数之和，并将结果存储在memo[i][j]中
        return memo[i][j]; // 返回memo[i][j]作为结果
    }
};

解法3（动态规划）：

算法思路：

1. 函数含义->状态表示
2. 函数体->状态转移方程
3. 递归出口->初始化

C++算法代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        // 创建一个二维数组dp，大小为(m+1) x (n+1)，用于存储每个位置的路径数
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        // 初始化起点的路径数为1
        dp[1][1] = 1;
        // 遍历二维数组，计算每个位置的路径数
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                // 如果当前位置是起点，跳过
                if (i == 1 && j == 1) continue;
                // 当前位置的路径数等于上方位置的路径数加上左方位置的路径数
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        // 返回终点的路径数
        return dp[m][n];
    }
};