sinx + cosx 的极大值和极小值
- 理论推导
- 图像
今天遇到了一个问题，就是如何求解 sin x + cos x \sin{x} + \cos{x} sinx+cosx 的极大值和极小值。这里特来记录一下。
理论推导
首先，我们假设：
sin
x
+
cos
x
=
R
sin
(
x
+
α
)
(1)
\sin{x} + \cos{x} = R\sin{\left ( x+\alpha \right ) } \tag{1}
sinx+cosx=Rsin(x+α)(1)
展开（1）式后我们可以得到：
sin
x
+
cos
x
=
R
cos
α
sin
x
+
R
sin
α
cos
x
(2)
\sin{x} + \cos{x} = R\cos{\alpha}\sin{x} + R\sin{\alpha}\cos{x} \tag{2}
sinx+cosx=Rcosαsinx+Rsinαcosx(2)
从（2）式我们可以得到：
R
cos
α
=
1
R
sin
α
=
1
\begin{align} R\cos{\alpha} &= 1 \tag{3} \\ R\sin{\alpha} &= 1 \tag{4} \end{align}
RcosαRsinα=1=1(3)(4)
对（3）和（4）式进行平方并加和可得：
R
2
cos
2
α
+
R
2
sin
2
α
=
1
2
+
1
2
R
2
(
sin
2
α
+
cos
2
α
)
=
2
\begin{align} R^2\cos^2{\alpha} + R^2\sin^2{\alpha}&= 1^2 + 1^2 \nonumber \\ R^2 \left ( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} \right ) &= 2 \tag{5} \end{align}
R2cos2α+R2sin2αR2(sin2α+cos2α)=12+12=2(5)
从（5）式可得：
R
=
2
(6)
R = \sqrt{2} \tag{6}
R=2(6)
将（6）式代入（3）和（4）式可得：
cos
α
=
2
2
sin
α
=
2
2
\begin{align} \cos{\alpha} &= \frac{\sqrt{2}}{2} \tag{7} \\ \sin{\alpha} &= \frac{\sqrt{2}}{2} \tag{8} \end{align}
cosαsinα=22=22(7)(8)
结合（7）式和（8）式最终可得：
α
=
π
4
(9)
\alpha = \frac{\pi}{4} \tag{9}
α=4π(9)
将（9）式和（6）式代入（1）中可得：
sin
x
+
cos
x
=
2
sin
(
x
+
π
4
)
(10)
\sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}\sin{\left ( x+\frac{\pi}{4} \right ) } \tag{10}
sinx+cosx=2sin(x+4π)(10)
通过（10）式可以看出，
sin
x
+
cos
x
\sin{x} + \cos{x}
sinx+cosx 的最大值为
2
\sqrt{2}
2，最小值为
−
2
-\sqrt{2}
−2。
图像
如果我们做一下它的图像，我们可以得到：
图像也验证了我们的理论推导。
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