建模分析 | 差速轮式移动机器人运动学建模(附Python/Matlab仿真)

0 专栏介绍

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1 差速模型定义

差速轮式移动机器人是一种机器人平台，其运动控制基于两个或多个并行但独立驱动的轮子。这些轮子通常位于机器人的两侧，通过分别控制每个轮子的速度和方向，机器人能够实现灵活的运动和转向。

差速轮式移动机器人的核心是通过调整两个轮子的速度差异，使其能够前进、后退、转向、旋转等。这种设计使得差速轮式移动机器人在室内和室外环境中都能够有效地导航和执行各种任务，如物品搬运、勘探、巡逻等。

差速轮式移动机器人的经典结构如图所示

在这里插入图片描述

此模型中设移动机器人的几何中心和质心重合，且重合点在轮轴中点上。用 $\boldsymbol{p}=\left[ \begin{matrix} x& y& \theta\\\end{matrix} \right] ^T$ 表示该移动机器人在全局坐标系 $x O y$ 中的位姿， $M\left( x,y \right)$ 表示该移动机器人质心在全局坐标系的坐标。设移动机器人车轮直径为 $2 r$ ，两驱动轮间距为 $2 d$

设移动机器人局部坐标系为 $x^{'} O y^{'}$ ，则定义机器人瞬时线速度 $v$ 为其沿 $x^{'}$ 轴(亦即前进方向)的速度，位姿角 $\theta$ 为 $x^{'}$ 轴与全局坐标系 $x$ 轴的夹角，角速度 $\omega$ 为 $x^{'}$ 轴绕 $M$ 点的瞬时旋转角速率，整个系统以 $\boldsymbol{u}=\left[ \begin{matrix} v& \omega\\\end{matrix} \right] ^T$ 为输入控制量。设 $\omega _L$ 、 $\omega _R$ 及 $v_L$ 、 $v_R$ 分别为机器人左右驱动轮的角速度、线速度，也为驱动量。

2 控制量与驱动量

下面考察控制量与驱动量间的关系，首先有

$v=\frac{v_L+v_R}{2}$

在这里插入图片描述

如图所示，设在时间 $\varDelta t\rightarrow 0$ 内，机器人由位姿 $\boldsymbol{p}_1$ 移动到位姿 $\boldsymbol{p}_2$ ，位姿角 $\theta$ 变化了 $\varDelta \theta$ ，一轮比另一轮多运动了 $\varDelta l=\left( v_R-v_L \right) \varDelta t$ ，则 $\varDelta \theta \approx \sin \varDelta \theta ={{\varDelta l}/{\left( 2d \right)}}$ ，从而

$\omega =\frac{\varDelta \theta}{\varDelta t}=\frac{v_R-v_L}{2d}$

进而得到机器人运动半径

$r=\frac{v}{\omega}=\frac{v_R+v_L}{v_R-v_L}d$

所以控制量与驱动量的关系用矩阵表示为：

$\left[ \begin{array}{c} v\\ \omega\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2d}& -\frac{1}{2d}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} v_R\\ v_L\\\end{array} \right]$

3 运动学方程

差速移动机器人的运动学方程容易得到

$\boldsymbol{\dot{p}}=\left[ \begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{\theta}\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta& 0\\ \sin \theta& 0\\ 0& 1\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} v\\ \omega\\\end{array} \right] =S\left( \boldsymbol{q} \right) \boldsymbol{u}$

也可以根据控制量和驱动量的关系进一步写出

$\boldsymbol{\dot{p}}=\left[ \begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{\theta}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta& 0\\ \sin \theta& 0\\ 0& 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2d}& -\frac{1}{2d}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} v_R\\ v_L\\ \end{array} \right] =\tilde{S}\left( \boldsymbol{q} \right) \boldsymbol{u}$

由上式可知自主移动机器人是状态向量维数为3，但控制输入量为2维的非完整约束系统，因此自主移动机器人存在无法全向移动的运动约束，在路径规划中需要协调路径平滑与连续性。

4 仿真实现

4.1 Python仿真

核心的运动学迭代公式实现如下

def lookforward(self, state: np.ndarray, u: np.ndarray, dt: float) -> np.ndarray:
	F = np.array([[1, 0, 0, 0, 0],
	              [0, 1, 0, 0, 0],
	              [0, 0, 1, 0, 0],
	              [0, 0, 0, 0, 0],
	              [0, 0, 0, 0, 0]])
	B = np.array([[dt * math.cos(state[2]),  0],
	              [dt * math.sin(state[2]),  0],
	              [                      0, dt],
	              [                      1,  0],
	              [                      0,  1]])
	new_state = F @ state + B @ u
	return new_state

在这里插入图片描述

4.2 Matlab仿真

核心的运动学迭代公式实现如下

function robot = f(robot, u, dt)
%@breif: robotic kinematic
    F = [ 1 0 0 0 0
             0 1 0 0 0
             0 0 1 0 0
             0 0 0 0 0
             0 0 0 0 0];
 
    B = [dt * cos(robot.theta) 0
            dt * sin(robot.theta)  0
            0                                dt
            1                                 0
            0                                 1];
 
    x = [robot.x; robot.y; robot.theta; robot.v; robot.w];
    x_star = F * x + B * u';
    robot.x = x_star(1); robot.y = x_star(2); robot.theta = x_star(3);
    robot.v = x_star(4); robot.w = x_star(5);
end