递归和master公式系统栈 + 计算时间复杂度

前置知识：无

1）从思想上理解递归：对于新手来说，递归去画调用图是非常重要的，有利于分析递归

2）从实际上理解递归：递归不是玄学，底层是利用系统栈来实现的

3）任何递归函数都一定可以改成非递归，不用系统帮你压栈（系统栈空间），自己压栈呗（内存空间）

4）递归改成非递归的必要性：

a.工程上几乎一定要改，除非确定数据量再大递归也一定不深，归并排序，快速排序，线段树，很多的平衡树等，后面都讲
b.算法笔试或者比赛中（能通过就不改）

5）master公式

a.所有子问题规模相同的递归才能用master公式， $T(n) = a*T(\frac{n}{b}) + O(n^c)$ ，a、b、c 都是常数
b.如果 ${log_{b}}^{a}< c$ ，复杂度为： $O(n^c)$
c.如果 ${log_{b}}^{a} > c$ ，复杂度为： $O(n^{{log_{b}}^{a}})$
d.如果 ${log_{b}}^{a} == c$ ，复杂度为： $O(n^{c} * logn)$

6）一个补充

$T(n) = 2*T(\frac{n}{2}) + O(n*logn)$ ，时间复杂度是 O(n * ((logn)的平方)),即 $O(n * (logn)^{2})$ ，证明过程比较复杂，记住即可

举个栗子：求 arr={4,2,6,1} 的最大值

求最大值
递：左,最大值
递：右,最大值
整合（非）：左，右（获得最终最大值）

观察上图：（个人描述，如有不对，多多指正）发现最多使用的系统栈的空间个数和递归树的高度存在对应关系: $\left \lceil {log_{2}}^{4} \right \rceil = 2$

#include <iostream>
using namespace std;

int f(int arr[], int left, int right) {
	if (left == right) return arr[left];
	int mid = (left + right) / 2;
	int lmax = f(arr, left, mid);
	int rmax = f(arr, mid + 1, right);
	return max(lmax, rmax);
}

int maxValue(int arr[],int n){
	return f(arr, 0, n - 1);
}

// T(N) = T(N/2) + T(N/2) + O(1) = 2 * T(N / 2) + O(1)
// a = 2,b = 2,c=0 
int main() {
	int arr[] = { 3,8,7,6,4,5,1,2,10 };
	int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	cout << maxValue(arr,n) << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

分析上面代码的时间复杂度：

T(N) = T(N/2) + T(N/2) + O(1) = 2 * T(N / 2) + O(1)
a = 2,b = 2,c=0

${log_{b}}^{a} = {log_{2}}^{2} = 1 > c=0$ ,所以时间复杂度为 $O(n^{{log_{2}}^{2}}) = O(n)$

假如a = 2,b = 2,c=2， ${log_{b}}^{a} = {log_{2}}^{2} = 1 < c=2$ ,所以时间复杂度为 $O(n^c)=O(n^2)$

假如a = 2,b = 2,c=1， ${log_{b}}^{a} = {log_{2}}^{2} = 1 == c$ ,所以时间复杂度为 $O(n^{c} * logn) = O(n * logn)$

参考和推荐视频：

算法讲解020【必备】递归和master公式-左程云-左程云-哔哩哔哩视频 (bilibili.com)https://www.bilibili.com/list/8888480?sort_field=pubtime&spm_id_from=333.999.0.0&oid=404355895&bvid=BV1kV411G7wP