一题三解(暴力、二分查找算法、单指针):鸡蛋掉落

涉及知识点

暴力、二分查找算法、单指针

题目

给你 k 枚相同的鸡蛋，并可以使用一栋从第 1 层到第 n 层共有 n 层楼的建筑。
已知存在楼层 f ，满足 0 <= f <= n ，任何从高于 f 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 f 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次操作，你可以取一枚没有碎的鸡蛋并把它从任一楼层 x 扔下（满足 1 <= x <= n）。如果鸡蛋碎了，你就不能再次使用它。如果某枚鸡蛋扔下后没有摔碎，则可以在之后的操作中重复使用这枚鸡蛋。
请你计算并返回要确定 f 确切的值的最小操作次数是多少？
示例 1：
输入：k = 1, n = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，肯定能得出 f = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，肯定能得出 f = 1 。
如果它没碎，那么肯定能得出 f = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 f 是多少。
示例 2：
输入：k = 2, n = 6
输出：3
示例 3：
输入：k = 3, n = 14
输出：4
提示：
1 <= k <= 100
1 <= n <= 104

暴力解法

分析

f 取[0,n]共n+1可能 pre[i]表示i种可能 (j-1)个鸡蛋需要多少回合排除
dp[i]表示i种可能，j个鸡蛋需要多少回合排除
只有一个鸡蛋，则测试最低的的楼层，如果破了，就得到答案；没破，就排除一种可能。当只一种可能时，不需要尝试，故：j为0时，dp[i]=i-1;
假设有j(j>2)个鸡蛋，假设在某层楼扔下，如果没破，有x种可能；破了，有i-x种可能。
则dp[i] = 1 + max(dp[x],pre[x-1])，x取值[1,i-1]
笨办法枚举x。

时间复杂度

时间复杂度O(knn),超时。

代码

class Solution {
public:
int superEggDrop(int k, int n) {
vector pre(n + 2);//f 取[0,n)共n+1可能 pre[i]表示i种可能 j个鸡蛋需要多少回合排除
for (int i = 0; i <= n+1; i++)
{
pre[i] = i - 1;
}
for (int j = 1; j < k; j++)
{
vector dp(n + 2,1000*100);
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n+1; i++)
{
for (int x = 1; x < i; x++)
{
dp[i] = min(dp[i], 1 + max(dp[x], pre[i - x]));
}
}
pre.swap(dp);
}
return pre.back();
}
};

二分

分析

重点考虑：max(dp[x], pre[i - x]));
情况一：dp[x] <= pre[i-x]
x1和x2是合法x，且x1<x2如，则x1被淘汰
证明：因为pre和dp都是单调增加或不变。 x1<x2 > i-x1 > i-x2 =>pre[i-x1]>=pre[i-x2]
情况二：dp[x] > pre[i-x]
同理：只需要考虑最小的x
情况一最大的x是xLeft,情况二最小的x是xRight，则xRightxLeft+1
故只需求xRight，注意:xRight可能不存在
情况二符合条件，多个符合条件返回第一个，用左开右闭空间二分。

时间复杂度

O(nklogn)。枚举鸡蛋数时间复杂度O(k)，枚举可能数时间复杂度O(n)，计算xRight时间复杂度O(logn)。

代码

class Solution {
public:
	int superEggDrop(int k, int n) {
		vector<int> pre(n + 2);//f 取[0,n)共n+1可能 pre[i]表示i种可能 j个鸡蛋需要多少回合排除
		for (int i = 0; i <= n + 1; i++)
		{
			pre[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 1; j < k; j++)
		{
			vector<int> dp(n + 2, 1000 * 100);
			dp[0] = dp[1] = 0;
			for (int i = 2; i <= n + 1; i++)
			{
				int left = 0, right = i ;
				while (right - left > 1)
				{
					const auto mid = left + (right - left) / 2;
					if (dp[mid] > pre[i - mid])
					{
						right = mid;
					}
					else
					{
						left = mid;
					}
				}
				if (right < i )
				{
					auto x = right;
					dp[i] = min(dp[i], 1 + max(dp[x], pre[i - x]));
				}
				if (right >= 2)
				{
					auto x = right-1;
					dp[i] = min(dp[i], 1 + max(dp[x], pre[i - x]));
				}
			}
			pre.swap(dp);
		}
		return pre.back();
	}
};

单指针

随着i的增加，xRight只会增加或变大。每个j，xRight的时间复杂度是O(n)，总时间复杂度是O(kn)。

测试用例

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}

int main()
{
int res = 0;
{
res = Solution().superEggDrop(2, 6);
Assert(3, res);
}
{
res = Solution().superEggDrop(3, 14);
Assert(4, res);
}
{
res = Solution().superEggDrop(10, 100);
Assert(7, res);
}
{
res = Solution().superEggDrop(9, 89);
Assert(7, res);
}
{
res = Solution().superEggDrop(100, 10000);
Assert(14, res);
}

//CConsole::Out(res);

}

2023年1月7号版

class Solution {
public:
int superEggDrop(int k, int n) {
int iMaxStep = MaxStep(k,n);
vector preDp(iMaxStep + 1);
int iMinSetp = INT_MAX;
for (int i = 0; i <= iMaxStep; i++)
{
preDp[i] = i+1;
if (i + 1 -1 >= n)
{
iMinSetp = i;
}
}
while (–k)
{
vector dp(iMaxStep + 1);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= iMaxStep; i++)
{
const int tmp = dp[i - 1] + preDp[i - 1];
dp[i] = tmp;
if (tmp > n)
{
iMinSetp = i;
break;
}
}
preDp.swap(dp);
}
return iMinSetp;
}
int MaxStep(int k, int n)const
{
int iOpeNum = 0;
int iCan = 1;//iOpeNum回合可以判定胡楼层
for (int i = 2; i < 10000; i++)
{
for (int j = 0; j < k; j++)
{
if (iCan > n)
{
return iOpeNum;
}
iCan /= (i - 1);
iCan *= i;
iOpeNum++;
}
}
return 100;
}
};

2023年1月8号版

枚举各回合，能判断多少种可能。
class Solution{
public:
int superEggDrop(int k, int n) {
//dp[j] 表示iStep回合，j个鸡蛋能表示的可能
vector pre(k + 1,2);
pre[0] = 1;
if (2 > n)
{
return 1;
}
for (int iStep = 2; iStep < 20000; iStep++)
{
vector dp(k + 1, 1);
for (int j = 1; j <= k; j++)
{
dp[j] = pre[j] + pre[j - 1];
if (dp[j] > n)
{
return iStep;
}
}
pre.swap(dp);
}
return -1;
}

};

扩展阅读

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