1 实矩阵
实矩阵，指的是矩阵中所有的数都是实数的矩阵。如果一个矩阵中含有除实数以外的数，那么这个矩阵就不是实矩阵。
2 QR（正交三角）分解法
QR（正交三角）分解法是求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R，所以称为QR分解法，与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。
如果实（复）非奇异矩阵A能够化成正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR，则称其为A的QR分解。
矩阵的正交分解又称为QR分解，是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式。
任意实数方阵A，都能被分解为。这里的Q为正交单位阵，即。R是一个上三角矩阵。这种分解被称为QR分解。
QR分解也有若干种算法，常见的包括Gram–Schmidt、Householder和Givens算法。
QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。
3 分解流程
（1）对需要求解的特征值的矩阵进行QR分解
（2）对分解出来的结果进行逆向相乘
（3）将相乘得到的矩阵进行QR分解
（4）对分解出来的结果进行逆向相乘
4 实用意义
使用qr分解有助于加快解方程或求解速度即收敛速度。
5 应用领域
系统辨识是现代控制理论的重要组成部分。对系统的结构和参数进行辨识在工程上和理论上都占有重要的地位。最小二乘法是系统参数辨识中的重要估计方法,并在众多领域和场合得到了广泛的应用。
6 QR（正交三角）分解法C#源程序
using System;
namespace Zhou.CSharp.Algorithm
{
/// <summary>
/// 矩阵类
/// 作者：周长发
/// 改进：深度混淆
/// https://blog.csdn.net/beijinghorn
/// </summary>
public partial class Matrix
{
/// <summary>
/// 一般实矩阵的QR分解，分解成功后，原矩阵将成为R矩阵
/// </summary>
/// <param name="src">源矩阵</param>
/// <param name="mtxQ">分解后的Q矩阵</param>
/// <returns>求解是否成功</returns>
public static bool SplitQR(Matrix src, Matrix mtxQ)
{
int i, j, k, z, nn, p, jj;
double u, alpha, w, t;
if (src.Rows < src.Columns)
{
return false;
}
// 初始化Q矩阵
if (!mtxQ.Init(src.Rows, src.Rows))
{
return false;
}
// 对角线元素单位化
for (i = 0; i <= src.Rows - 1; i++)
{
for (j = 0; j <= src.Rows - 1; j++)
{
z = i * src.Rows + j;
mtxQ[z] = 0.0;
if (i == j)
{
mtxQ[z] = 1.0;
}
}
}
// 开始分解
nn = src.Columns;
if (src.Rows == src.Columns)
{
nn = src.Rows - 1;
}
for (k = 0; k <= nn - 1; k++)
{
u = 0.0;
z = k * src.Columns + k;
for (i = k; i <= src.Rows - 1; i++)
{
w = Math.Abs(src[i * src.Columns + k]);
if (w > u)
{
u = w;
}
}
alpha = 0.0;
for (i = k; i <= src.Rows - 1; i++)
{
t = src[i * src.Columns + k] / u;
alpha = alpha + t * t;
}
if (src[z] > 0.0)
{
u = -u;
}
alpha = u * Math.Sqrt(alpha);
if (Math.Abs(alpha) < float.Epsilon)
{
return false;
}
u = Math.Sqrt(2.0 * alpha * (alpha - src[z]));
if ((u + 1.0) != 1.0)
{
src[z] = (src[z] - alpha) / u;
for (i = k + 1; i <= src.Rows - 1; i++)
{
p = i * src.Columns + k;
src[p] = src[p] / u;
}
for (j = 0; j <= src.Rows - 1; j++)
{
t = 0.0;
for (jj = k; jj <= src.Rows - 1; jj++)
{
t = t + src[jj * src.Columns + k] * mtxQ[jj * src.Rows + j];
}
for (i = k; i <= src.Rows - 1; i++)
{
p = i * src.Rows + j;
mtxQ[p] = mtxQ[p] - 2.0 * t * src[i * src.Columns + k];
}
}
for (j = k + 1; j <= src.Columns - 1; j++)
{
t = 0.0;
for (jj = k; jj <= src.Rows - 1; jj++)
{
t = t + src[jj * src.Columns + k] * src[jj * src.Columns + j];
}
for (i = k; i <= src.Rows - 1; i++)
{
p = i * src.Columns + j;
src[p] = src[p] - 2.0 * t * src[i * src.Columns + k];
}
}
src[z] = alpha;
for (i = k + 1; i <= src.Rows - 1; i++)
{
src[i * src.Columns + k] = 0.0;
}
}
}
// 调整元素
for (i = 0; i <= src.Rows - 2; i++)
{
for (j = i + 1; j <= src.Rows - 1; j++)
{
p = i * src.Rows + j;
z = j * src.Rows + i;
t = mtxQ[p];
mtxQ[p] = mtxQ[z];
mtxQ[z] = t;
}
}
return true;
}
}
}
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The QR decomposition (or QR factorization) allows us to express a matrix having linearly independent columns as the product of 1) a matrix Q having orthonormal columns and 2) an upper triangular matrix R.
