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 * @poject          经验模态分解及其衍生算法的研究及其在语音信号处理中的应用
 * @file            EMD的3个基本概念
 * @author			jUicE_g2R(qq:3406291309)
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 * @language        MATLAB/Python/C/C++
 * @EDA				Base on matlabR2022b
 * @editor			Obsidian（黑曜石笔记软件）
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• 谈论到 $EMD$，都会提及到 解析信号、顺时频率 与 本征模态函数 $IMF$ 这3个概念

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1 解析信号

1-1 为什么要进行信号的解析？

采集的信号一般为 时间尺度数据 ，要分析其特性一般把 时间尺度变为频率尺度 ，即 信号的频率分析 。如果把信号直接进行 傅里叶变换 后会使频域变为 正频域和负频域（负频域现实世界是不存在的，只存在数学推导中），这就使得变换后的频域（正频域）缺失不完整，从而导致信号特性的缺失。

1-2 $解析信号z(t)=源信号x(t)+j\hat{x}(t)$

1-2-1 信号 $x(t)$ 的解析信号

1-2-2 将信号的 时间尺度 转变为 频率尺度

• 时间转频率 的（只保留正频率）处理
  

• 进一步处理，得到 $Z(f)$与 $X(f)$ 的关系
  

• 进而得到（令 $h(t)$ 为冲击函数，映射的是上面的阶跃函数 $H(f)$）
  $z(t)=x(t)+jx(t)\ast h(t)$

1-2-3 $\hat{x}(t)$ 为 $源信号x(t)$ 的 希尔伯特变换

希尔伯特变换
在信号处理中应用非常广，其最开始是由大数学家希尔伯特(David Hilbert)为解决黎曼-希尔伯特问题(the Riemann–Hilbert problem)中的一个特殊情况而引入。

• 该变换物理意义非常明确：把信号所有 频率分量 相位推迟 90度。
  

• $x(t)$ 变 $\hat{x}(t)$
  

• $z(t)$ 的 希尔伯特变换
  

2 瞬时频率

2-1 为什么使用瞬时频率？

在 传统频谱分析 中，频率指是以 傅里叶变换 为基础的 与时间无关的量 ：频率f或角频率w ，其实质是表示信号在一段时间内的总体特征。对于一般的平稳信号，传统的频域分析方法是有效的。
但是对于实际中存在的 非平稳信号，其频率是随时间变化的 ，此时傅里叶频率不再适合，为了表征信号的局部特性就需要引进 瞬时频率 的概念。

2-2 公式

• $解析信号z(t)=源信号x(t)+j\hat{x}(t)$

2-2-1 瞬时振幅 $A(t)$

• $A(t)=\sqrt{x^2(t)+{\hat{x}}^2(t)}$

2-2-2 瞬时相位

• $\theta (t)=arctan\frac{\hat{x}(t)}{x(t)}$

2-2-3 信号的瞬时频率 为 瞬时相位的导数

• $\frac{1}{2\pi }w(t)=f(t)=\frac{1}{2\pi }\frac{d\theta (t)}{dt}$
  

2-2-4 处理时需要注意的点

• 不是任何解析信号都可以通过该定义得到有意义的瞬时频率，要得到有意义的瞬时频率，原始信号就必须满足严格的条件。
  

3 本征模态函数$IMF$

3-1 要领：$x(t)=\sum im{f}_i(t)+r_N(t)$

将 原信号 分解成 若干本征模态函数$IMF$ 与 单调 残差（残余信号）$r_N(t)$

• 每个 $IMF$ 必须要满足如下两个条件：
  1）在整个信号上，极值点的个数和过零点的个数相差不大于1；
  2）在任意点处，上下包络的均值为0。
• 通常情况下，实际信号都是复杂信号并不满足上述条件。因此，黄锷进行了以下的假设：
  1）任何信号都是由若干本征模态函数组成的；
  2）各个本征模态函数即可是线性的，也可是非线性的，各本征模态函数的局部零点数和极值点数相同，同时上下包络关于时间轴局部对称；
  3）在任何时候，一个信号都可以包含若干本征模态函数，若各模态函数之间相互混叠，就组成了复合信号。

3-2 若干 $IMF$ 的处理过程

3-2-1 $EMD$ 分解 的 分析过程

• 得到第一个 $IMF$ 的 第一个 低频信号
  

图解 $x_0(t{)}_{-}{m}_1(t)=h_1^1(t)$

• $x_0(t)$ 源信号函数
  注：视图中的 $u(x)$ 为 $x_0(t)$
  
  减去

• $m_1(t)$ 上下包络线的折中函数
  注：别管图中IMF2
  
  等于

• $h_1^1(t)$ 低频信号
  

• 这一步处理得到的结果显然太理想了，需要经过 不超过10步（直到处理得到的函数满足 $IMF$ 定义） 得到一个 中线趋于$x轴$ 的 $h_1^k(t)$（即 $im{f}_1(t)$）
  

• 这里的 $r_1(t)$ 是源信号 经过处理后 的函数（即 $x_1(t)$）
  

• 然后重复上述步骤直至 $r_n(t)$ 为 单调函数或常量 时， EMD分解过程停止！

3-2-2 整合若干阶 $imf$ 分量

• $x(t)={\sum }_{i=1}^n{c}_i(t)+r_n(t)$
  

• 结论：$EMD$ 局部性强
  （研究的是局部，证明的也是局部的性质是）随着信号的不断地 本征模态分解，得到的 本征模态函数 的图像越来越平缓。
  

参考文献：EMD算法研究及其在信号去噪中的应用_王婷.caj（第二章）