数据结构与算法—插入排序选择排序

一、排序的概念

二、插入排序

1、直接插入排序

直接插入排序的特性总结：

2、希尔排序

希尔排序的特性总结：

三、选择排序

1、直接选择排序

时间复杂度

2、堆排序—排升序(建大堆)

向下调整函数

堆排序函数

代码完整版：

头文件

函数文件

测试文件

一、排序的概念

排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。

稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。

内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。

外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。

二、插入排序

比如，在实际中我们玩扑克牌时，就用了插入排序的思想

1、直接插入排序

直接插入排序是一种简单的排序算法，它的基本思想是将一个记录插入到已经排序好的有序表中，从而得到一个新的、记录数增加1的有序表。这个算法适用于少量数据的排序，是稳定的排序方法，即相等的元素的顺序不会改变。

直接插入排序的算法过程如下：

从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序；
取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；
如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；
重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；
将新元素插入到该位置后；
重复步骤2~5。

如果我们将这个过程比作扑克牌的排序，每次我们都是从牌堆中拿出一张牌，然后将它插入到左手中正确的位置，最终左手中的牌都是排序好的。

我们来看一下代码的运行过程：

void InsertSort(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		int end = i;
		int tmp = a[i + 1];
		while (end >= 0) {
			if (a[end] > tmp) {
				a[end + 1] = a[end];
				end--;
			}
			else {
				break;
			}
		}
		a[end + 1] = tmp;
	}
}

函数参数：指针a接收数组，n接收数组元素个数。
首先，外层循环从第一个元素开始遍历到倒数第二个元素，因为在内层循环中需要比较当前元素和前一个元素的大小，所以最后一个元素不需要再比较。
在外层循环中，我们将当前元素的下一个元素作为待插入元素，将当前元素的下标保存在变量end中，这个变量表示当前元素在已排序部分中的位置。
接下来while循环中，我们在已排序部分从后往前遍历，比较当前元素和已排序部分中的元素大小，如果当前元素小于已排序部分中的元素，则将已排序部分中的元素后移一位，直到找到当前元素的正确位置。
最后，我们将待插入元素插入到正确的位置，即end+1的位置。
内层循环结束后，当前元素已经被插入到了正确的位置，我们继续外层循环，处理下一个元素，直到所有元素都被插入到正确的位置。

直接插入排序的特性总结：

1. 元素集合越接近有序，直接插入排序算法的时间效率越高

2. 时间复杂度：O(N^2)

3. 空间复杂度：O(1)，它是一种稳定的排序算法

4. 稳定性：稳定

2、希尔排序

希尔排序（Shell Sort）是一种改进的插入排序算法，它的基本思想是将待排序的序列分成若干个子序列，对每个子序列进行插入排序，然后再将整个序列进行一次插入排序。通过这种方式，可以使得序列中较小的元素尽可能地快速地移动到前面，从而减少了插入排序的比较次数和移动次数，提高了排序的效率。

希尔排序的算法过程如下：

选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；
按增量序列个数k，对序列进行k趟排序；
每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m的子序列，分别对每个子序列进行插入排序；
将各个子序列中的排序结果合并成一个序列。

代码如下：

void ShellSort(int* a, int n)
{
	//1、gap >  1 预排序
	//2、gap == 1 直接插入排序
	int gap = n;
	while (gap > 1) {
		gap = gap / 3 + 1;// +1可以保证最后一次一定是1
		for (int i = 0; i < n - gap; i++) {
			int end = i;
			int tmp = a[end + gap];
			while (end >= 0) {
				if (a[end] > tmp) {
					a[end + gap] = a[end];
					end -= gap;
				}
				else {
					break;
				}
			}
			a[end + gap] = tmp;
		}
	}
}

首先，我们选择一个增量gap=n，然后将序列分成若干个子序列，对每个子序列进行插入排序。
在这个实现中，我们使用了一个while循环来计算增量gap，每次将gap除以3并加1，保证gap最小为1，此时进行直接插入排序。
在外层while循环中，我们将序列分成若干个子序列，每个子序列的长度为gap。然后，我们对每个子序列进行插入排序，将子序列中的元素插入到已排序部分的正确位置。
在内层循环中，我们使用了一个变量end来表示当前元素的下标，每次将end减去gap，直到找到当前元素的正确位置。然后，我们将待插入元素插入到正确的位置，即end+gap的位置。
内层循环结束后，当前子序列已经排好序了，我们继续外层while循环，处理下一个子序列，直到所有子序列都被排好序了。

以数组 a = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 3, 2, 1, 0]，长度 n = 11为例，演示排序过程

图中颜色相同的值为当前<间距gap>下的子序列，从前往后依次比较每个子序列（也就是相距 gap 个位置的值的大小）。

希尔排序的特性总结：

希尔排序是对直接插入排序的优化。
当gap > 1时都是预排序，目的是让数组更接近于有序。当gap == 1时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。这样整体而言，可以达到优化的效果。我们实现后可以进行性能测试的对比。
希尔排序的时间复杂度不好计算，因为gap的取值方法很多，导致很难去计算，因此在好些书中给出的希尔排序的时间复杂度都不固定，但我们只需记住结论：O（N^ 1.3），复杂的推导和计算过程不需要了解。

三、选择排序

1、直接选择排序

直接选择排序通过每一轮的比较，找到最大值和最小值，将最大值的节点跟右边交换，最小值节点跟左边交换，达到排升序的效果。

我们先看代码，然后通过一个例子就能明白了。

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

void SelectSort(int* a, int n)
{
	int begin = 0, end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int maxi = begin, mini = begin;
		for (int i = begin; i <= end; i++)
		{
			if (a[i] > a[maxi])
			{
				maxi = i;
			}

			if (a[i] < a[mini])
			{
				mini = i;
			}
		}

		Swap(&a[begin], &a[mini]);
		// 如果maxi和begin重叠，修正一下即可
		if (begin == maxi)
		{
			maxi = mini;
		}

		Swap(&a[end], &a[maxi]);

		++begin;
		--end;
	}
}

代码中的变量begin和end分别表示当前未排序的元素范围的起始和结束位置。
在while循环中，每次从begin到end的范围内找到最大和最小的元素，分别用maxi和mini记录它们的下标。
然后将mini所指向的元素与begin所指向的元素交换位置，将maxi所指向的元素与end所指向的元素交换位置。
如果maxi和begin重叠，说明mini所指向的元素是当前未排序元素中最大的，需要将maxi更新为mini。
最后，begin指针向后移动一位，end指针向前移动一位，继续进行下一轮排序。

我们来用一个简单的例子演示一下这个选择排序算法的过程。

假设我们有一个数组`a`，它的元素为：[5, 3, 8, 6, 4, 2]，我们要对它进行排序。

首先，begin指向第一个元素，end指向最后一个元素：

begin = 0
end = 5

接下来，我们进入主循环，因为`begin`小于`end`，所以我们需要继续排序。在第一轮排序中，我们需要找到未排序部分的最大值和最小值。

首先，我们将`maxi`和`mini`都初始化为`begin`，也就是第一个元素的索引。然后，我们遍历未排序部分的元素，找到最大值和最小值的索引。在这个例子中，最大值的索引是2，最小值的索引是5。

maxi = 2
mini = 5

接下来，我们将未排序部分的最小值交换到开始位置，将未排序部分的最大值交换到结束位置。这时，数组的状态变为：[2, 3, 4, 6, 8, 5]

由于我们已经将当前范围的最大值和最小值放到了正确的位置，所以我们将`begin`向后移动一位，将`end`向前移动一位，继续进行下一轮排序。此时，`begin`指向第二个元素，`end`指向倒数第二个元素：

begin = 1
end = 4

在第二轮排序中，我们需要找到未排序部分的最大值和最小值。这时，最大值的索引是3，最小值的索引是1。

maxi = 3
mini = 1

接下来，我们将未排序部分的最小值交换到开始位置，将未排序部分的最大值交换到结束位置。这时，数组的状态变为：[2, 3, 4, 5, 6, 8]，所有元素都排序完成，排序结束。