引子:
无向图如果是一个网,那么它的所有的生成树中必有一颗生成树的边的权值之和是最小的,我们称
这颗权值和最小的树为:“最小生成树”(MST)。
其中,一棵树的代价就是树中所有权值之和。
而在现实中,最小生成树的概念可以用来解决很多实际问题,例如,在n个城市之间建立交通网,
那么哪一条路径是最短的呢?就可以用最小生成树来解决。
算法思想:
设G = (V,E)为以连通网,其中V为顶点集合,E为带权边集合。
设置两个新集合U和T:
U用于存放最小生成树的顶点,T用于存放最小生成树的边。
令集合的初值为:{u0}(假设构造最小生成树时,从顶点u0出发。)
集合T的初值为{}。
从所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)中,选取最小权值的边(u0,v0),将顶点v0加入集合U中,将边
(u0,v0)加入集合T中。
如此不断重复,知道U = V,最小生成树构造完成,集合T中包含了最小生成树中的所有边。
分析算法可知:
为了实现Prim算法,需要一个辅助数组closedge以记录从U到V-U具有最小代价的边。
对于closedge数组需要包含两个域:
adjvex和lowcost,其中lowcost = 0表示若顶点v不在生成树上,用closedge.lowcost存放v与生成树
上的另一个顶点的序号所构成边的权值。
adjvex存放与该边相关联的生成树上的另一顶点的序号。
算法生成图
对于下面这个无向图例子来说:
算法的执行过程如下:
代码部分:
#include<stdio.h>
#define MAX 100
typedef struct Mgraph{
char vertex[MAX];
int arcs[MAX][MAX];
int vexnum,arcnum;
}Mgraph;
typedef struct Closedge{
char adjvex[MAX];
int lowcost[MAX];
}Closedge;
int LocateVerTex(Mgraph *G,char v)
{
int k;
for(k=0;k<G->vexnum;k++)
if(G->vertex[k] == v)
return k;
return -1;
}
void CreateMgraph(Mgraph *G)
{
int i,j,weight,adj1,adj2;
char v1,v2;
printf("请输入顶点数和边数:\n");
scanf("%d %d",&G->vexnum,&G->arcnum);
getchar();
printf("请输入:{%d}个顶点:\n",G->vexnum);
for(i=0;i<G->vexnum;i++)
scanf("%c",&G->vertex[i]);
getchar();
printf("请输入:{%d}条边:(格式如下:v1 v2 权值).\n",G->arcnum);
for(i=0;i<G->vexnum;i++){
for(j=0;j<G->vexnum;j++){
G->arcs[i][j] = 9999;
}
}
for(i=0;i<G->arcnum;i++){
scanf("%c %c %d",&v1,&v2,&weight);
getchar();
adj1 = LocateVerTex(G,v1);
adj2 = LocateVerTex(G,v2);
if(adj1 == -1 || adj2 == -1){
printf("失败.\n");
i = i - 1;
continue;
}
else{
G->arcs[adj1][adj2] = weight;
G->arcs[adj2][adj1] = weight;
printf("成功.\n");
}
}
}
int MiniNum(Closedge *closedge,Mgraph *G)
{
int j,p = 1,min = 999;
for(j=0;j<G->vexnum;j++){
if(closedge->lowcost[j] != 0 && closedge->lowcost[j] < min){
min = closedge->lowcost[j];
p = j;
}
}
return p;
}
void MiniTree_Prim(Mgraph *G,char u)
{
int i,j,k,num;
k = LocateVerTex(G,u);
Closedge closedge;
for(i=0;i<G->vexnum;i++){
if(i!=k){
closedge.adjvex[i] = u;
closedge.lowcost[i] = G->arcs[k][i];
}
}
closedge.lowcost[k] = 0;
printf("最小生成树的各条边为:\n");
for(i=1;i<G->vexnum;i++){
k = MiniNum(&closedge,G);
printf("边:<%c,%c>,权值为{%d}:\n",closedge.adjvex[k],G->vertex[k],closedge.lowcost[k]);
closedge.lowcost[k] = 0;
for(j=0;j<G->vexnum;j++){
if(G->arcs[k][j] < closedge.lowcost[j]){
closedge.adjvex[j] = G->vertex[k];
closedge.lowcost[j] = G->arcs[k][j];
}
}
}
}
int main()
{
Mgraph G;
CreateMgraph(&G);
MiniTree_Prim(&G,'A');
return 0;
}