窗函数法设计FIR中，如何选择窗函数和滤波器阶数N

1、概述

在用窗函数法设计FIR滤波器时，给出了滤波器要求的具体指标，包括通带频率fp、阻带频率fs、通带波纹Rp 和阻带衰减As 等，有了这些指标后，是否什么窗函数都可以选择呢？答案是否定的。那么怎么选择窗函数呢？在本文中将说明窗函数的选择和滤波器阶数N的选择。

2、理论基础

不同窗函数的阻带最小衰减是不相同的，例如我们要求阻带衰减为 50dB，则矩形窗和汉宁窗的最小衰减分别为 21dB 和 44dB，若用这两种窗函数，无论 N 有多长，都没有办法满足阻带衰减达到 50dB。为了满足阻带衰减达到 50dB，只有选择海明窗，因为它的阻带衰减能达到 53dB 。所以窗函数的选择主要是根据滤波器指标中对阻带衰减 As 的要求。（根据阻带衰减选择窗函数）

在选择窗函数后又怎么决定滤波器的阶数 N 呢？在设定的滤波器指标中给出了通带频率fp 和阻带频率fs ，在通带频率fp 和阻带频率fs 之间是过渡带，设 $\Delta f=f_{s}-f_{p}$ △f=fs-fp，，则过渡带应与对应窗函数的“精确过渡带宽”相等。设把精确过渡带宽表示为 $dw/N$ ，则对于任意某一种窗函数就应有： $\Delta f=dw/N$

这样可得N为： $N=dw/\Delta f$

根据上表，以海明窗为例， $N=\frac{6.6\pi }{\Delta f}$ ，注意在计算中，△f是归一化的角频率。综上所述，经过渡带可求出FIR滤波器的阶数。对于带通滤波器或带阻滤波器，通带频率有fp1及fp2，阻带频率有fs1及fs2，以带通滤波器为例，分别求出 $\Delta f1=fp1-fs1$ 及 $\Delta f2=fs2-fp2$ ，从 $\Delta f1$ 和 $\Delta f2$ 之间选择小的一个作为 $\Delta f$ ：

$\Delta f = min(\Delta f1, \Delta f2)$

式中：min(·)表示选用最小值。

3、实例

例3-13-1、要求设计一个低通滤波器，采样频率为100Hz，通带频率fp=3Hz，阻带频率fs=5Hz；而通带波纹Rp=3dB，阻带衰减As=50dB。由于设计要求As=50dB，分析可知选择海明窗能满足要求，所以在窗函数法中用海明窗。

程序如下：

clear all; clc; close all
Fs = 100;                        % 采样频率 
Fs2 = Fs/2;                      % 奈奎斯特频率
fp = 3; fs = 5;                  % 通带和阻带频率
Rp =3 ; As = 50;                 % 通带波纹和阻带衰减
wp = fp*pi/Fs2; ws = fs*pi/Fs2;  % 通带和阻带归一化角频率
deltaw= ws - wp;                 % 过渡带宽Δω的计算
N = ceil(6.6*pi/ deltaw);        % 按海明窗计算所需的滤波器阶数N(按式(3-13-1))
N = N + mod(N,2);                % 保证滤波器系数长N+1为奇数
wind = (hamming(N+1))';          % 海明窗计算
Wn=(3+5)/100;                    % 计算截止频率
b = fir1(N,Wn,wind);             % 用fir1函数设计FIR第1类滤波器
[db,mag,phs,gdy,w] = freqz_m(b,1); % 计算滤波器响应
% 作图
subplot 211; plot(w*Fs/(2*pi),db,'k','linewidth',2);
title('(a)低通滤波器的幅值响应');
grid; axis([0 20 -70 10]); 
xlabel('频率/Hz');  ylabel('幅值/dB')
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,3,5,20])
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,0])
subplot 212; stem(1:N+1,b,'k');
xlabel('频率/Hz');  ylabel('幅值/dB')
title('(b)低通滤波器的脉冲响应');
xlabel('样点');  ylabel('幅值')
axis([0 167 -0.05 0.1]); 
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[1,84,167])
set(gcf,'color','w');

说明：

①因为选择了海明窗，按式 $N=dw/\Delta f$ 求出滤波器阶数N： $N = ceil(6.6 * \pi / dw)$ 。

②一般设计的FIR滤波器都是第1类FIR滤波器，要求脉冲序列长N是奇数。而从①
中求得的滤波器阶数N不知是偶数还是奇数。通过 $N = N + mod(N,2)$ 保证滤波器阶数N为偶数，而脉冲响应序列长将是N+1，即为奇数，满足第1类FIR滤波器要求。滤波器阶数若为N，脉冲响应序列的长度总为N+1，在FIR滤波器中脉冲响应序列的长度与滤波器阶数总差1。