训练数据

线性回归

基本原理

比如我们要买房，机器学习深度学习来预测房价。房价的影响因素有：卧室数量，卫生间数量，居住面积。此外，还需要加上偏差值来计算。我们要找到一个正确率高的计算方法来计算。

首先，我们需要有一个计算公式：$y=w_1{x}_1+w_2{x}_2+w_3{x}_3+b$ ，w是权重，b是偏差值。w 和 b 的值需要我们自己选取最优解。

线性模型实现：输入 x 是一个 n*1 的向量，权重 w 是一个 n*1 的向量，b是一个标量。$y=<w,x>+b$

这就可以看做一个简单的神经网络了。我们输入多个参数，神经网络处理后最终得到一个标量结果。

神经网络就像级联的神经元一样，每一个神经元是一层，进行一次处理，得到的参数再传递给下一层进行进一步处理。这个例子中层数比较少。

计算得到结果后，如何评价结果的质量？

训练数据：结合计算公式和每次的 loss 反馈，得到 w 和 b 的最优解。

线性回归是一种可以得到显示解（就是确定的解，不像 y=x+C 这种包含未知部分的函数解）的单层神经网络，主要运用加权和偏差对 n 维输入进行处理，通过平方损失来衡量预测值和真实值的差异。

优化方法

具体是用什么样的方法对 w b 进行优化呢？

每次我们沿垂直于切线的方向，也就是求导方向，前进一个步长（学习率），因为沿着这个方向 w 的优化效率最高。

因此很容易联想到学习率步长是有一个合适的范围的，太长了一下子跳太远了。太短了要迭代太多次速度太慢。

另外，重新取点计算梯度值对于复杂模型来说其实是很耗时间的，可能几个小时以上。而且最小值可能不止一个，非要找到损失最小的样本点也很废算力。因此实际操作中一般是随机挑选几个样本点，一部分批量（batch）平均来计算梯度值（小批量随机梯度下降）。batchsize 太小，并行化计算无法完全发挥出来；太大，浪费计算。

实现

%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l

# 生成人造数据集
def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)   # 噪声
    return X, y.reshape((-1, 1))         # 列向量，-1 表示行数自己计算应该是多少。 

# 我们人造数据集的参数。训练期望就是得到的 w 和 b 离我们的 true_w true_b 误差很小
true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

# 随机读取一批数据
def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]
        
# 初始化模型参数，批量大小10，初始 wb 如下
batch_size = 10
w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b

def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降优化函数"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size  # 损失函数那里没有归一化，这里归一化
            param.grad.zero_()
            
lr = 0.03			# 学习率
num_epochs = 3		# 优化计算重复3次
net = linreg		# 网络模型
loss = squared_loss	# 损失。这样写后面直接改参数很方便

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
        # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
        # 并以此计算关于[w,b]的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')
  
# output:loss 代表每一次循环 wb 的均方损失
epoch 1, loss 0.038786
epoch 2, loss 0.000152
epoch 3, loss 0.000048

# 和我们自己生成的真正的数据参数比较，来看训练准确性：
print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')
# output:
w的估计误差: tensor([0.0003, 0.0003], grad_fn=<SubBackward0>)
b的估计误差: tensor([-0.0002], grad_fn=<RsubBackward1>)

简洁实现

由于数据迭代器、损失函数、优化器和神经网络层很常用， 现代深度学习库也为我们实现了这些组件。

首先，生成数据集部分是一样的。

import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

读取数据集不用自己定义一个随机读取函数：

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  #@save
    """构造一个PyTorch数据迭代器"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)

用法可以和前面的复杂实现一样，for X, y in data_iter 。我们也可以用 iter 构造迭代器，用 next 迭代。next(iter(data_iter)) 获取第一项。

模型也可以直接利用深度学习框架预先定义好的层，没有必要自己写。

Sequential 将多个层串联到一起。其实我们这个简单例子只用到了一个层，但是还是使用 Sequential 定义一下来熟悉一波流程。首先我们定义 Sequential 的输入输出，然后给 Sequential 内部具体的层进行配置。

# nn是神经网络的缩写
from torch import nn

net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))

net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)	# 输入层权重参数的正态分布
net[0].bias.data.fill_(0)			# 偏置参数的初始值

损失函数使用 MSELoss L2 范式返回所有样本损失的平均值。

loss = nn.MSELoss()

优化算法：采用小批量优化算法，给定参数和学习率，参数从 net.parameter 中可以直接获取。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)

训练：

num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter:
        l = loss(net(X) ,y)
        trainer.zero_grad()
        l.backward()
        trainer.step()
    l = loss(net(features), labels)
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

误差：

w = net[0].weight.data
print('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))
b = net[0].bias.data
print('b的估计误差：', true_b - b)

我的输出：

epoch 1, loss 0.000201

epoch 2, loss 0.000103

epoch 3, loss 0.000103

w的估计误差： tensor([-0.0004, 0.0003])

b的估计误差： tensor([0.0003])