线性组合、张成的空间与基
- 基向量
- 缩放向量并相加
- 给定向量张成的空间
- 线性相关与线性无关
- 空间的基
这是关于3Blue1Brown "线性代数的本质"的学习笔记。
基向量
当看到一对描述向量的数时,比如[3,-2]时,把这对数中的每个数(坐标)看作一个标量,表示它们如何对坐标系上各轴单位向量
i
⃗
\vec{i}
i和
j
⃗
\vec{j}
j进行拉伸或压缩。
单位向量 i ⃗ \vec{i} i和 j ⃗ \vec{j} j就是这个2维坐标系 x y xy xy的基向量。
缩放向量并相加
从这个角度看,向量[3,-2]实际上是两个经过缩放的向量之和。
每当我们用数字对表示一个向量时,它都依赖于我们正在使用的基向量。
两个数乘向量之和被称为这两个向量的线性组合。如果让两个向量的线性组合中的标量 a , b a,b a,b同时自由变化,大多数情况下能到达2维平面内的每一个点。只有两种情况下例外,一是这两个向量共线,二是这两个向量是零向量。
给定向量张成的空间
所有可以表示为两个给定向量线性组合的向量的集合,被称为两个给定向量张成的空间。
- 如果第三个向量恰好落在前面两个向量张成的平面上,它们张成的空间并不会发生变化
- 如果第三个向量没有在前面两个向量张成的平面上,它们张成的空间构成整个3维空间
可以想象,第三个向量将前面两个向量张成的平面沿它的方向来回移动,从而扫过整个3维空间。
线性相关与线性无关
两个给定向量共线,或者第三个向量恰好落在前面两个向量张成的平面上,这两种情况下,也就是一组向量中至少有一个是多余的,对张成的空间没有贡献,这时候就称它们是线性相关(Linearly dependent)的。另一种说法就是,一组向量中,有向量可以表示为其他向量的线性组合,那它们就是线性相关的;因为这个向量已经落在了其他向量张成的空间之中。
另一方面,如果一组向量中的所有向量都给张成的空间增添了新的维度,它们就被称为是线性无关的。
空间的基
空间的一组基的严格定义:张成该空间的一个线性无关向量的集合。即:向量空间的一组基是张成改空间的一个线性无关向量集。