线性代数第三章向量

一、运算

加法、数乘、内积

施密特正交化

二、线性表出

概念：如果 $\beta =k_1\alpha _1+...+k_s\alpha _s$ ，则称 $\beta$ 可由 $\alpha _1,...,\alpha _s$ 线性表出（k不要求不全为0）

判定：

非齐次线性方程组 $x_1\alpha _1+x_2\alpha _2+...+x_s\alpha _s=\beta$ 有解
$r(\alpha _1,...,\alpha _s)=r(\alpha _1,...,\alpha _s,\beta )$
$\alpha _1,...,\alpha_s$ 无关， $\alpha _1,...,\alpha_s,\beta$ 相关

如果两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。向量组等价，向量组的秩相等（反过来不成立，秩相等向量组未必等价）。经过初等变换向量组的秩不变。

三、线性相关

概念：若存在不全为0的 $k_1,...,k_s$ 使 $k_1\alpha _1+...+k_s\alpha _s=0$

充要条件：

齐次线性方程组 $[\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s]x=0$ 有非零解
$r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s)<s$
某个 $\alpha _i$ 可由 $\alpha _1,...,\alpha _{i-1},\alpha _{i+1},...,\alpha _s$ 线性表出

n个n维向量 $\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n$ 线性相关的充分必要条件是行列式 $\left | \alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n \right |=0$

充分条件：

n+1个n维向量
多数向量能用少数向量表示

部分组相关 $\Rightarrow$ 整体组相关；整体组无关 $\Rightarrow$ 部分组无关。多数向量能用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关。

四、线性无关

概念：如果 $k_1\alpha _1+...+k_s\alpha _s=0$ ，则必有 $k_1=0,...,k_s=0$

充要条件：

$[\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s]x=0$ 只有零解
$r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s)=s$
$\forall \ i,\alpha _i$ 不能由其余的向量表示

充分条件：

阶梯型向量组

五、极大线性无关组

在向量组 $\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s$ 中，若存在r个向量 $\alpha _{i1},\alpha _{i2},...,\alpha _{ir}$ 线性相关，再加进任何一个向量 $\alpha _j(j=1,2,...,s)$ ，向量组 $\alpha _{i1},\alpha _{i2},...,\alpha _{ir},\alpha _{j}$ 线性相关，则称向量组 $\alpha _{i1},\alpha _{i2},...,\alpha _{ir}$ 是向量组 $\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s$ 的一个极大线性无关组。（小向量组是大向量组的极大线性无关组）

六、向量组的秩

向量组 $\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s$ 的极大线性无关组中所含向量的个数r，称为这个向量组的秩。

七、施密特正交化

设向量组 $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3$ 线性无关，其正交规范化方法步骤如下：

$\beta _1=\alpha _1,\\ \beta _2=\alpha _2-\frac{(\alpha _2,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1,\\ \beta _3=\alpha _3-\frac{(\alpha _3,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1-\frac{(\alpha _3,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}\beta _2,$

则 $\beta _1,\beta _2,\beta _3$ 两两正交。再将 $\beta _1,\beta _2,\beta _3$ 单位化，取 $\gamma _1=\frac{\beta _1}{\left | \beta _1 \right |},\gamma _2=\frac{\beta _2}{\left | \beta _2 \right |},\gamma _3=\frac{\beta _3}{\left | \beta _3 \right |},$