题目描述

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。

你必须在 原地 旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要 使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1：

输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]

示例 2：

输入：matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]
输出：[[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

提示：

• n == matrix.length == matrix[i].length
• 1 <= n <= 20
• -1000 <= matrix[i][j] <= 1000

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解题思路

可以摸索下有什么规律可寻，以示例二为例，枚举矩阵元素旋转90º后位置变化

第一行

5：        (0，0) ——> (0，3)

1:          (0，1) ——> (1，3)

9：        (0，2) ——> (2，3)

11:          (0，3) ——> (3，3)

第二行

2：        (1，0) ——> (0，2)

4:          (1，1) ——> (1，2)

······

由此可以总结出一个矩阵元素旋转后的位置变化公式：matrix[i][j]  ——>  matrix[j][n-1-i]

🤔

如果直接修改矩阵元素，前一个元素会覆盖掉它旋转后位置的元素，会造成数据丢失，如果将两个元素交换的话又会打乱矩阵，这样的话好像得借助一个辅助矩阵来临时储存元素，但是题目要求原地修改矩阵，不能借助另一个矩阵，啊，到底要怎么做，一定还有什么规律没有发现，盯着矩阵好好想想吧······

n坤时后——  

山重水复疑无路，柳暗花明又一村。

我发现将每行元素反转后，每个元素以副对角线对称位置就是原位置旋转后的位置，

原矩阵         每行反转——>         

        以副对角线翻转——>        

用公式表示：

matrix[i][j]   反转  ——>  matrix[i][n-1-j]

(以副对角线翻转元素位置变化公式为:  matrix[i][j]——>matrix[n-1-j][n-1-i] )

matrix[i][n-1-j]   以副对角线翻转 ——> matrix[n-1-(n-1-j)][n-1-i]=matrix[j][n-1-i]

由此可见，通过以上操作后就可以间接将矩阵中的每个元素移到旋转后的位置。

算法流程：

1.对矩阵每行反转

2.实现副对角线翻转操作，就是将矩阵副对角线两侧元素交换。

以下是算法Java实现：

class Solution {
    public void rotate(int[][] matrix) {
        int n=matrix.length;
        // 反转
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n / 2; j++) {
                int temp = matrix[i][j];
                matrix[i][j] = matrix[i][n - j - 1];
                matrix[i][n- j - 1] = temp;
            }
        }
        // 副对角线翻转
        for(int i=0;i<n-1;i++){
            for(int j=0;j<n-i-1;j++){
                int t=matrix[i][j];
                matrix[i][j]=matrix[n-j-1][n-i-1];
                matrix[n-j-1][n-i-1]=t;
            }
        }
    }
}

时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)

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其他方法

大自然的搬运工。

作者：

Krahets

以位于矩阵四个角点的元素为例，设矩阵左上角元素 A 、右上角元素 B 、右下角元素 C 、左下角元素 D 。矩阵旋转 90º 后，相当于依次先后执行 D→A，C→D ，B→C，A→B 修改元素，即如下「首尾相接」的元素旋转操作：

                                                A←D←C←B←A

如上图所示，由于第 1 步 D→A 已经将 A 覆盖（导致 A 丢失），此丢失导致最后第 4 步 A→B 无法赋值。为解决此问题，考虑借助一个「辅助变量 tmp」预先存储 A ，此时的旋转操作变为：

                                        暂存 tmp=A

                                        A←D←C←B←tmp

如上图所示，一轮可以完成矩阵 4 个元素的旋转。因而，只要分别以矩阵左上角 1/4的各元素为起始点执行以上旋转操作，即可完整实现矩阵旋转。

具体来看，当矩阵大小 n 为偶数时，取前 n/2行、前 n/2列的元素为起始点；当矩阵大小 n 为奇数时，取前 n/2行、前 (n+1)/2列的元素为起始点。

令 matrix[i][j]=A ，根据文章开头的元素旋转公式，可推导得适用于任意起始点的元素旋转操作：

暂存tmp=matrix[i][j]

matrix[i][j]←matrix[n−1−j][i]←matrix[n−1−i][n−1−j]←matrix[j][n−1−i]←tmp

算法执行流程：

算法Java实现：

class Solution {
    public void rotate(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
            for (int j = 0; j < (n + 1) / 2; j++) {
                int tmp = matrix[i][j];
                matrix[i][j] = matrix[n - 1 - j][i];
                matrix[n - 1 - j][i] = matrix[n - 1 - i][n - 1 - j];
                matrix[n - 1 - i][n - 1 - j] = matrix[j][n - 1 - i];
                matrix[j][n - 1 - i] = tmp;
            }
        }
    }
}

复杂度分析
时间复杂度O(N^2) ： 其中 N 为输入矩阵的行（列）数。需要将矩阵中每个元素旋转到新的位置，即对矩阵所有元素操作一次，使用O(N^2) 时间。
空间复杂度 O(1) ： 临时变量 tmp使用常数大小的额外空间。值得注意，当循环中进入下轮迭代，上轮迭代初始化的 tmp占用的内存就会被自动释放，因此无累计使用空间。

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力扣官方题解