15. 机器学习 - 支持向量机

茶桁的AI秘籍核心能力基础 15

Hi, 你好。我是茶桁。

逻辑回归预测心脏病

在本节课开始呢，我给大家一份逻辑回归的练习，利用下面这个数据集做了一次逻辑回归预测心脏病的练习。

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本次练习的代码在「茶桁的AI秘籍」在Github上的代码库内，数据集的获取在文末。这样做是因为我的数据集都是和百度盘同步的，很多数据集过大了，所以也就不传Github了。而且，我直接获取盘内同步数据也更方便。

还有一个原因，有些数据集可能以后会收费获取。

好，让我们进入今天的正课。

因为未来几节课的内容比较多。「核心基础」的这部分内容已经超出我原本的预计，咱们「核心基础」的部分刚刚过半，可是已经写到15节了，本来这部分内容我是想在21节左右结束的，所以，我们还是要压缩一下内容了。

这节课咱们还是继续讲解经典的机器学习。

支持向量机

接下来，要讲解一个非常有趣的方法：支持向量机。

支持向量机的原理其实可以很复杂，但它是一个很经典的思想方法。咱们就把它的核心思想讲明白就行了。其实我们平时在工作中用的也比较少。但是面试中有一些老一代的面试官会比较喜欢问这个问题。

支持向量机的核心思想，假如我们有两堆数据，希望找一根线去把它做分类，那么咱们找哪一根线呢？

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上图中，我们假设黑色的那根线定义为l，把离这根线最近的点，也就是直线距离最小的点，找到两个这样的点定义为P1、P2。

现在我们是希望离这个l最近的点，假如说是d1,d2，那么我们希望这两个距离加起来最大：max|d1+d2|。

现在再定义蓝色的线为直线b，那直线b做分类就比直线l要好。为什么直线b就比是直线l好呢? 因为直线b离d1,d2普遍都比较远。

现在这里的演示是一个二维平面中用一根线来分割，如果是在多维空间中，SVM的目标就是找到一个最佳的超平面来最大化间隔，同时确保正确分类样本。

假设我们有一组训练样本，每个样本用特征向量x表示，并且标记为正类别+1或负类别-1。

我们可以表示为以下凸优化问题：

$\begin{align*} min_{w, b}\frac{1}{2}||w||^2 \end{align*}$

其中对所有样本

$y_i(w \cdot x_i+b) \ge 1$

w是超平面的法向量，b是截距项，yi是样本xi的标签，也就是+1或者-1。

为了解决这个优化问题，我们引入拉格朗日乘子 $a_i$ 来得到拉格朗日函数：

$\frac{1}{2}||w||^2 - \sum_{i=1}^Na_i[y_i(w\cdot x_i +b) - 1]$

然后我们要最小化拉格朗日函数，首先对w和b求偏导数，令它们等于0，然后代入拉格朗日乘子条件:

$a_i[y_i(w\cdot x_i + b)-1] = 0$

然后我们就可以得到如下这个式子

$\sum_{i=1}^Na_iy_ix_i \\ sum_{i=1}^N a_iy_i = 0$

使用某种优化算法（例如，SMO算法），求解拉格朗日乘子 $a_i$ 。我们就可以使用求解得到的 $a_i$ 计算超平面参数w和b。

对于新样本x，使用超平面 $w\cdot x + b$ 的符号来预测其类别。

那我们讲了这么半天，都是一个支持向量机的数学演示过程，下面我们来看看具体的代码实现。

我们先来生成两组数据，这两组数据咱们让他距离更大：

import numpy as np
label_a = np.random.normal(6, 2, size=(50, 2))
label_b = np.random.normal(-6, 2, size=(50, 2))

我们现在来观察以下生成的这些点：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(*zip(*label_a))
plt.scatter(*zip(*label_b))

plt.show()

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然后我们继续：

label_a_x = label_a[:, 0]
label_b_x = label_b[:, 0]

我们就将这两组数据的第一列分别取出来了。

接着我们随机的定义一些w和b

for i in range(100):
    w, b = (np.random.random(size=(1, 2)) * 10 - 5)[0]

然后我们按照之前讲的数学演示来定义一个函数

def f(x):
    return w*x+b

然后我们之前从数学演示里已经知道， $y_i(w\cdot x+b) \ge 1$ , 而我们也知道这个说的是距离，也就是说，同样的$y_i(w\cdot x+b) \le -1 $。

也就是说，我们要让函数f小于等于-1，并且大于等于1。当然，为了保证其被分到两边，我们将函数的最大值定义为小于等于-1，将函数的最小值定义为大于等于1。这样就保证(-1,1)之间是不存在任何函数值：

np.max(f(label_a_x, w, b)) <= -1 and np.min(f(label_b_x, w, b)) >= 1

只有同时满足这两个条件的值，我们才会留下来进行保存。我们可以定义一个变量将其保存

w_and_b = []
for i in range(100):
    w, b = (np.random.random(size=(1, 2)) * 10 - 5)[0]
    if np.min(f(label_a_x, w, b)) >= -1 and np.min(f(label_b_x, w, b)) >= 1:
        w_and_b.append((w, b))

在得到这些w,b之后，我们将这些w,b连起来进行画图：

for w, b in w_and_b:
    x = np.concatenate((label_a_x, label_b_x))
    plt.plot(x, f(x, w, b))

plt.show()

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这样，我们就拟合出来了很多的曲线。这些个曲线到底哪一个是最好的那一个呢？

现在根据刚刚得到的那个结论，现在所有的 $y_i(w\cdot x_i + b)$ , 那么现在其实就是 $\frac{2}{||w||}$ 。

那我们现在就找这个w最小的这个值就可以了。

w, b = min(w_and_b, key = lambda w_b: w_b[0])
all_x = np.concatenate((label_a_x, label_b_x))
plt.plot(all_x, f(all_x, w, b), 'r-o')

plt.show()

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现在我们就可以看到那个最优的直线了，就是众多红色的点连接起来的那根线。

当然，最后代码执行顺序和讲解顺序有一些不一样，为了避免数据每次重新生成造成的差别，所以最开始是生成数据，之后是定义函数、过滤参数以及生成图像。

这个就是支持向量机的原理，我们找到离它所有的点的一个距离，让它这个边距最大，最后得到一个简化结果。

核函数

然后我们再来看另外一个点：「核函数」：

核函数是支持向量机里面非常重要的一个东西。

如果支持向量机只要数据是线性可分的，那么我们一定能够找到它的分割线。但是在实际的现实生活中有很多点并不是线性可分的。

举个例子，我们来画一张图：

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就比如图中的这种数据，是无论如何用一条直线无法分割的，不管怎么画，都无法把蓝色和红色的点分割开。

就像我们下面这张图：

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但是，我们我们可以做这样一件事情，假设我们在一个坐标轴上拥有8个点，A、B、C、D为一组，a,b,c,d为一组。如下图：

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分别为A(-1,1), B(1,1), C(1, -1), D(-1,-1)； a(-0.5, 0.5), b(0.5, 0.5), c(0.5, -0.5), d(-0.5, -0.5)。

现在我们ABCD和abcd是无法用一根直线来分割的，然后我们令:

$\begin{align*} f(x) => \begin{Bmatrix} x^2 \\ y^2 \end{Bmatrix} \end{align*}$

那在这种情况下，八个点分别就变成了A(1, 1),B(1, 1),C(1, 1),D(1, 1)， a(0.25, 0.25),b(0.25, 0.25),c(0.25, 0.25),d(0.25, 0.25)。

那这样的情况下，我们就完全可以用一根直线去分割了：

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那现在找到这根线是w2 = wx+b，那我们遇到新数据应用到这个函数里边，再应用到这个线里面做分割就可以了。我们把原本线性不可分的东西，变成线性可分的。那么这个就是核函数神奇的地方。

支持向量机通过某非线性变换 φ(x) ，将输入空间映射到高维特征空间。特征空间的维数可能非常高。如果支持向量机的求解只用到内积运算，而在低维输入空间又存在某个函数 K(x, x′) ，它恰好等于在高维空间中这个内积，即K(x, x′) =φ(x)⋅φ(x’) ; 。那么支持向量机就不用计算复杂的非线性变换，而由这个函数K(x, x′) 直接得到非线性变换的内积，使大大简化了计算。我们就将这种函数函数 K(x, x′) 称为核函数。

$\varphi (x) = \begin{bmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{bmatrix}$