基于实例的学习方法

动机
基本概念
- - 基于实例的学习
  - - 基于实例的概念表示
- 1. 最近邻
- - 最近邻的例子
  - 理论结果
  - 最近邻（1- NN）:解释
  - 问题
K-近邻(KNN)
- KNN讨论1 ：距离度量
- KNN 讨论2：属性
- - KNN:属性归一化
  - KNN:属性加权
- KNN讨论3:连续取值目标函数
- KNN讨论4 : k的选择
- KNN讨论5：打破平局
- KNN 讨论 6: 关于效率
- - KD-Tree: ( 1) 构建
  - KD-Tree: ( 2) 查询
- KNN 总览：优点与缺点
- - 优点
  - 缺点
- 下一个问题
距离加权 KNN (Distance-weighted KNN)
- 距离加权 KNN
- 回顾
- 基于实例/记忆的学习器： 4 个要素
- - 1-NN
  - K-NN
  - 距离加权 KNN
扩展：局部加权回归 (Locally weighted regression)
- 局部加权回归 (例子)
- 局部加权回归
真实测试样例下不同基于实例的算法表现举例
- 线性回归
- 1- 近邻
- K -近邻（k=9）
- 距离加权回归（核回归）
- 局部加权回归
懒惰学习与贪婪学习 Lazy learner and Eager Learner
- 不同的学习方法
- - 懒惰学习vs. 贪婪学习(lazy learner vs eager leaner)
  - - 懒惰
    - 贪婪
基于实例的学习总结

动机

之前【三步走】的学习方法
- 估计问题特性（如分布）
- 做出模型假设
  - LSE，Decision Tree，MAP，MLE，Naive Bayes ，…
- 找到最优的参数
有没有一种学习方法**不遵循【模型假设+参数估计】
人们通过记忆和行动来推理学习
思考即回忆、进行类比Thinking is reminding,making analogies
One takes the behavior of one’s company[近朱者赤，近墨者黑]

在这里插入图片描述

基本概念

参数化(Parametric) vs.非参数化(Non-parametric)
- 参数化：
  - 设定一个特定的函数形式
  - 优点：简单，容易估计和解释
  - 可能存在很大的偏置（bias）：实际的数据分布可能不遵循假设的分布
非参数化：
- 分布或密度的估计是数据驱动的(data-driven)
- 需要事先对函数形式作的估计相对更少
Instance-Based Learning (IBL):基于实例的学习
or Instance Based Methods (IBM):基于实例的方法
Memory-Based Learning :基于记忆的学习
Case-Based Learning :基于样例的学习
Similarity-Based Learning :基于相似度的学习
Case-Based Reasoning :基于样例的推理
Memory-Based Reasoning :基于记忆的推理
Similarity-Based Reasoning :基于相似度的推理

基于实例的学习

无需构建模型一一仅存储所有训练样例
直到有新样例需要分类才开始进行处理

如上图，2个发了信用卡，3个没发，只需要存下来，新来了一个人要不要发新用卡，看他和哪些类似，发送和发信用卡的类似，那就给他发信用卡。

基于实例的概念表示

一个概念 $c_i$ 可以表示为:
- 样例的集合 $c_i = \{e_{i1}, e_{i2},...\}$ ,
- 一个相似度估计函数 $f$ ,以及
- —个阈值0
一个实例’a’属于概念 $c_i$ ,当
- 'a’和c_i的某些e_j相似，并且
- $f(e_j, a)>\theta$ 。

1. 最近邻

$相似度\leftarrow\rightarrow距离$
一般用距离来描述相似度，成反比关系，距离越大，相似度越小

name	L	R	G/P
A	0	1.2	G
B	25	0.4	P
C	5	0.7	G
D	20	0.8	P
E	30	0.85	P
F	11	1.2	G
G	7	1.15	G
H	15	0.8	P

name	L	R	G/P
I	6	1.15	?
J	22	0.45	?
K	15	1.2	?

理论结果

无限多训练样本下1-NN的错误率界限：
$Err(Bytes)\le Err(1-NN) \le Err(Bytes)\left(2-\frac{K}{K-1}Err(Bayes)\right)$
证明很长（参照Duda et al, 2000）
因此1-NN的错误率不大于Bayes方法错误率的2倍

最近邻（1- NN）:解释

在这里插入图片描述

Voronoi Diagram
Voronoi tessellation
也称为 Dirichlet tessellation
Voronoi decomposition
对于任意欧氏空间的离散点集合S,以及几乎所有的点x, S中一定有一个和x最接近的点
- -没有说“所有的点”是因为有些点可能和两个或多个点距离相等（在边界上）
  -如果是边界上的点，则可以随机、按概率算或其它

问题

在这里插入图片描述

最近邻的点是噪音怎么办？
解决方法
- 用不止一个邻居
- 在邻居中进行投票 $\rightarrow$ k-近邻（KNN)
  如上面的例子，如果用1-近邻，则会是黑色，如上，用3近邻，因此是绿色。

K-近邻(KNN)

KNN:示例(3-NN)

顾客	年龄	收入(K)	卡片数	结果	距David距离
John	35	35	3	No	$\sqrt{(35-27)^2+(35-50)^2+(3-2)^2}=15.16$
Mary	22	50	2	Yes	$\sqrt{(22-37)^2+(50-50)^2+(2-2)^2}=15$
Hannah	63	200	1	No	$\sqrt{(63-37)^2+(200-50)^2+(1-2)^2}=152.23$
Tom	59	170	1	No	$\sqrt{(59-37)^2+(170-50)^2+(1-2)^2}=122$
Nellie	25	40	4	Yes	$\sqrt{(25-37)^2+(40-50)^2+(4-2)^2}=15.74$
David	37	50	2	Yes	-

新来了一个David顾客，求他的结果

计算David与其它顾客的距离，找到最小的3个距离，这三个投票得是YES

KNN讨论1 ：距离度量

Minkowski或 $L_\lambda$ 度量: $d(i,j)=\left(\sum_{k=1}^{p}|x_k(i)-x_k(j)|^\lambda\right)^{\frac{1}{\lambda}}$
k: 指的是维度，i和j指不同的数据点
计算在相同维度上不同点差值的绝对值的 $\lambda$ 次方，然后不同维度求和再开 $\lambda$ 次方
当 $\lambda$ 次方取不同值时， $L_\lambda$ 距离表示的就是如下图形
欧几里得距离 $(\lambda=2)$ $d_{ij}=\sqrt{\sum_{k=1}^{p}(x_{ik}-x_{jk})^2}$
曼哈顿距离 Manhattan Distance
城市街区距离City block Dis.
出租车距离 Taxi Distance
或L₁度量( $\lambda=1$ ): $d(i,j)=\sum_{k=1}^{p}|x_k(i)-x_k(j)|$
在曼哈顿，街区都类似如下，不能走斜线，
- 切比雪夫距离(Chebyshev Distance)
  棋盘距离(Chessboard Dis.)
  $L_{\infty}$
  $d(i,j)=\underset{k}{max}|x_k(i)-x_k(j)|$
  国际象棋可以走斜线，因此两点之间取决于x差值和y差值的最大值
加权欧氏距离
Mean Censored Euclidean
Weighted Euclidean Distance
$\sqrt{\sum_k(x_{jk}-x_{jk})^2/n}$
欧氏距离每多一个维度，距离就更大一些，除以n后，维度的影响就降低了
Bray-Curtis Dist $\sum_{k} |x_{jk}-x_{jk}|\bigg/\sum_{k} (x_{jk}-x_{jk})$
两个数据量点的差值和除以两个数据点的和的和
一般用于生物学上描述多样性用的比较多
堪培拉距离C anberra Dist. $\frac{\sum_{k} {|x_{jk}-x_{jk}|\big/(x_{jk}-x_{jk})}}{k}$
就是在Bray- Curtis Dist基础上做一些缩放

KNN 讨论2：属性

在这里插入图片描述

邻居间的距离可能被某些取值特别大的属性所支配
- e.g.收入 $Rachel)=\sqrt {(35-45)^2 + (95000-215000)^2+(3-2)^2}$
  -对特征进行**归一化(Normalization)**是非常重要的(e.g.,把数值归一化到[0-1])
- Log, Min-Max, Sum,Max…
- log只是对数据进行了放缩，没有归一化到[0-1],有个优点：数据会变得相对均匀
- Min-Max： $\frac{Score-Min}{Max-Min}$
- Sum: $\frac{Score}{\sum Score}$
- Max： $\frac{Score}{Max}$

KNN:属性归一化

顾客	年龄	收入(K)	卡片数	结果
John	35/63=0.55	35/200=0.175	3/4=0.75	No
Mary	22/63=0.34	50/200=0.25	2/4=0.5	Yes
Hannah	63/63=1	200/200=1	1/4=0.25	No
Tom	59/63=0.93	170/200=0.85	1/4=0.25	No
Nellie	25/63=0.39	40/200=0.2	4/4=1	Yes
David	37/63=0.58	50/200=0.25	2/4=0.5	Yes

KNN:属性加权

一个样例的分类是基于所有属性的
- 与属性的相关性无关——无关的属性也会被使用进来
根据每个属性的相关性进行加权 $d_{WE}(i,j)=\left(\sum_{k=1}^{p}w_k(x_k(i)-x_k(j))^2\right)^\frac{1}{2}$
在距离空间对维度进行缩放
- 如 $\sqrt{(L_1 - L_2)^2 + (10R_1-10R_2)^2}$
- w_k = 0 $\rightarrow$ 消除对应维度(特征选择)
一个可能的加权方法：
使用互信息(mutual information)/(属性,类别）
$I (X, Y) = H (X) + H (Y) - H (X, Y)$ H:熵(entropy)
Y是类别，最后的标签
$-\sum p(x,y)logp(x,y)$ 联合熵 (joint entropy)(利用熵的公式 $-\sum p(y)logp(y)$ )
x和y接近关系不同，互信息不同，利用互信息来代表这个维度的重要性w_k

KNN讨论3:连续取值目标函数

离散输出-投票
连续取值目标函数
- k个近邻训练样例的均值
  $\ \ \ \ \ 蓝色：估计值$
  
  3近邻相比1近邻，比较平滑，阶梯没那么多；k越大，相对越平滑，但也可能损失掉细节，

KNN讨论4 : k的选择

多数情况下k=3
取决于训练样例的数目
- 更大的k不一定带来更好的效果
交叉验证
- Leave-one-out (Throw-one-out, Hold-one-out)
  - 每次：拿一个样例作为测试，所有其他的作为训练样例
    KNN本来就是看样例点和其它点的距离，少算一个，拿它当测试，因此KNN天然适合用leave-one-out方法来做；如果n个样例，那就可以做n次，求评价指标时就可以求均值，看在验证集上k是多少最好
KNN是稳定的
- 样例中小的混乱不会对结果有非常大的影响
  k越大，相对越稳定，但是会丢掉好多细节

KNN讨论5：打破平局

在这里插入图片描述

如果k=3并且每个近邻都属于不同的类 ?（一般都不等于类别数，因为可能每个恰好属于不同类，而且一般不等于偶数，很容易出现对半情况）
- P(W|X)=1/3
- 或者找一个新的邻居(4^th)
- 或者取最近的邻居所属类
- 或者随机选一个
- 或者 …

之后会讨论一个更好的解决方案（距离加权）

KNN 讨论 6: 关于效率

KNN算法把所有的计算放在新实例来到时，实时计算开销大
加速对最近邻居的选择
- 先检验临近的点
- 忽略比目前找到最近的点更远的点
通过 KD-tree 来实现：(k dimension tree)
- KD-tree: k 维度的树 (数据点的维度是 k)
- 基于树的数据结构
- 递归地将点划分到和坐标轴平行的方形区域内

KD-Tree: ( 1) 构建

从一系列数据点出发

Pt	X	Y
1	0.00	0.00
2	1.00	4.31
3	0.13	2.85
…	…	…

在这里插入图片描述

- 我们可以选择一个维度 X 和分界值 V 将数据点分为两组： X > V 和 X <= V
接下来分别考虑每个组，并再次分割(可以沿相同或不同的维度)
持续分割每个集合中的数据点，从而构建一个树形结构
每个叶节点表示为一系列数据点的列表（分割时是将数据点均匀分割，使分割后两个区域的数据点大致相同）

在每个节点维护一个额外信息：这个节点下所有数据点的 (紧) 边界
紧边界，一个只包含数据点的矩形区域
在这里插入图片描述
用启发式的方法去决定如何分割

沿哪个维度分割？
- 范围最宽的维度（范围最大的，即数据点饭不最散的）
分割的值怎么取？
- 数据点在分割维度的中位数
- 为什么是「中位数」而不是「均值」？（尽量让每个区域数据点数目相同）
什么时候停止分割？
- 当剩余的数据点少于 m，或者
- 区域的宽度达到最小值
  （数据点也不用严格小于m，小于m只是一个权衡）

KD-Tree: ( 2) 查询

遍历树，来查找所查询数据点的最近邻居
先检验临近的点：关注距离所查询数据点最近的树的分支
节点分支是由原则的，如大于根节点（0.5)的在右子树，而查询点如果大于0.5,则可以缩小范围–右子树，

到了这一步，如图看y，又可以确定在某一子树上，
达到一个叶节点后：计算节点中每个数据点距离目标点的距离

接着回溯检验我们访问过的每个树节点的另一个分支
在这里插入图片描述

每次我们找到一个最近的点，就更新距离的上界
如发现距离另外一个分支的一些点更近，此时更新查询点的距离的上界
利用这个最近距离以及每个树节点下数据的边界信息，（如果新找到的边界已经比目前找到的最近邻更远，则不可能存在更近的点。因此就不计算这个新分支上的点了）
我们可以对一部分不可能包含最近邻居的分支进行剪枝

因此我们只计算了上述的点（记录边界是为了剪枝减小计算量的）

KNN 总览：优点与缺点

优点

概念上很简单，但可以处理复杂的问题(以及复杂的目标函数)
- e.g. 图片分类
通过对k-近邻的平均， 对噪声数据更鲁棒
容易理解 ：预测结果可解释(最近邻居)
训练样例中呈现的信息不会丢失
- 因为样例本身被**显式(explictly)**地存储下来了
实现简单、稳定、没有参数(除了 k)
方便进行 leave-one-out 测试

缺点

内存开销
- 需要大量的空间存储所有样例
- 通常来说，需要存储任意两个点之间的距离 O(n²) ； K-DTrees O(nlogn)
CPU 开销
- 分类新样本需要更多的时间(因此多用在离线场景)
很难确定一个合适的距离函数
- 特别是当样本是由复杂的符号表示时(距离需要自己定义，影响到相似度的计算，也就是knn的计算）
不相关的特征 对距离的度量有负面的影响
- 基于先验证知识或统计给予一定的权重，引用了新参数

下一个问题

回忆：用多个邻居使得对噪声数据鲁棒
这些邻居的贡献是一样的吗？
解决方案
- 对数据加权
- 更接近所查询数据点的邻居赋予更大的权 $\rightarrow$ 距离加权近邻

距离加权 KNN (Distance-weighted KNN)

距离加权 KNN

一种加权函数
- w_i = K(d(x_i, x_q))
  K是Kernel function(kernel方向，在后面的向量机里也会提到）
- d(x_i, x_q) ：查询数据点与 x_i 之间的关系
- K( ·) ：决定每个数据点权重的核函数（距离越大，权重越低）
输出: 加权平均： $\sum w_i y_i \left/ \sum w_i \right.$ (使得加权平均式没有经过太大的放缩)
核函数 K(d(x_i, x_q))
- 1/d², $e^{-d}$ , 1/(1+d), … 应该和距离 d 成反比

回顾

在这里插入图片描述
距离加权 NN
加d₀，平滑了很多，smoothing flater，这个还是很有用的，它是一个常数

下面的公式用了正态分布的高斯核函数，几乎接近完美

基于实例/记忆的学习器： 4 个要素

一种距离度量
使用多少个邻居？
一个加权函数(可选)
如何使用已知的邻居节点？

1-NN

在这里插入图片描述

基于记忆的学习器：4 个要素

一种距离度量 欧式距离
使用多少个邻居？一个
一个加权函数(加权) 无
如何使用已知的邻居节点？ 和邻居节点相同

K-NN

在这里插入图片描述

基于记忆的学习器：4 个要素

一种距离度量 欧式距离
使用多少个邻居？ K 个
一个加权函数(加权) 无
如何使用已知的邻居节点？ K 个邻居节点投票（或平均Mean）

距离加权 KNN

在这里插入图片描述

基于记忆的学习器： 4 个要素

一种距离度量 缩放的欧式距离
使用多少个邻居？ 所有的，或K 个
一个加权函数(可选)
$w_i = exp(-D(x_i, query)^2 / K_w^2)$
K_w ：核宽度。非常重要（是个常量，需手动指定）
如何使用已知的邻居节点？每个输出的加权平均 $\sum w_iy_i / \sum w_i$

扩展：局部加权回归 (Locally weighted regression)

回归：对实数值目标函数做估计/预测
局部：因为函数的估计是基于与所查询数据点相近的数据
加权：每个数据点的贡献由它们与所查询数据点的距离决定

局部加权回归 (例子)

在这里插入图片描述
上面例子中局部加权回归用4个线性直线（有两个几乎重合）很好的拟合了数据，和简单回归效果好很多，如果分的足够小的话，每一个小块一定是线性的

局部加权回归

在这里插入图片描述
基于记忆的学习器：4 个要素

一种距离度量 缩放的欧式距离
使用多少个邻居？ 所有的，或K 个
一个加权函数(可选)
e.g. $w_i = exp(-D(x_i, query)^2 / K_w^2)$
K_w ：核宽度。非常重要
如何使用已知的邻居节点？
首先构建一个局部的线性模型。拟合 $\beta$ 最小化局部的加权平方误差和: $\underline\beta=\underset{\beta}{argmin} \sum_{k=1}^{N} w_k^2(y_k-\beta^Tx_k)^2$
那么 $y_{predict} = \underline\beta^T x_{query}$

真实测试样例下不同基于实例的算法表现举例

线性回归

在这里插入图片描述
第一个：不能使用线性假设
第三个：看起来就像是噪声数据的影响

连接所有点

1- 近邻

在这里插入图片描述
甚至比连接所有点还差，比如第二个没有连接所有点平滑

K -近邻（k=9）

在这里插入图片描述
以上三个图都是在开始和结束也损失掉很大的细节

距离加权回归（核回归）

在这里插入图片描述
K_w=x轴宽度的1/32，就是将数据分成32份，每1/32的数据对当前的影响较大一些
最右的图，1/16是调参调出来的，但是和简单线性回归比，不知道是不是发生过拟合（对噪声拟合了一些），效果不好确定

选择一个合适的 K_w 非常重要，不仅是对核回归，对所有局部加权学习器都很重要（包括distance weighted 距离加权回归）

局部加权回归

在这里插入图片描述
不一定局部加权回归是最好的，因为参数量( $\beta^T$ )很大，因此需要数据量很大才适合

懒惰学习与贪婪学习 Lazy learner and Eager Learner

贪婪学习与主动学习(active learner)是有区别的,(主动学习是：先训练一部分，然后问teacher，这个数据的label是什么，然后把label加到训练了，然后学了一段时间后，再问，而且每次问都是挑一些对下一步有用的）

不同的学习方法

贪婪学习
比如：先建一个模型，从过去的数据集里得到一个模型，这个模型是：总结中经验，产生任何行动都是有老鼠。现在来了一个点，就说看到一只老鼠。
之前说的：线性回归、决策树、贝叶斯的方法都是eager leaner
懒惰学习 (例如基于实例的学习)
lazy leaner ：比如：有一对样例，啥都不干只保存，来了一个新的例子，它和电脑很像，就认为它是电脑