回归 概念

假设现在有一些数据点，我们用一条直线对这些点进行拟合（这条直线称为最佳拟合直线），这个拟合的过程就叫做回归。进而可以得到对这些点的拟合直线方程。

最后结果用sigmoid函数输出

因此，为了实现 Logistic 回归分类器，我们可以在每个特征上都乘以一个回归系数（如下公式所示），然后把所有结果值相加，将这个总和代入 Sigmoid 函数中，进而得到一个范围在 0~1 之间的数值。任何大于 0.5 的数据被分入 1 类，小于 0.5 即被归入 0 类。所以，Logistic 回归也是一种概率估计，比如这里Sigmoid 函数得出的值为0.5，可以理解为给定数据和参数，数据被分入 1 类的概率为0.5

逻辑回归实际上就是一层神经网络

sigmoid函数的输入

梯度上升

梯度=梯度值+梯度方向

要找到某函数的最大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。如果梯度记为 ▽ ，则函数 f(x, y) 的梯度由下式表示:

上式表示要沿x的方向移动，沿y方向移动。其中，函数f(x,y)必须要在待计算的点上有定义并且可微。

梯度下降和梯度上升：

其实这个两个方法在此情况下本质上是相同的。关键在于代价函数（cost function）或者叫目标函数（objective function）。如果目标函数是损失函数，那就是最小化损失函数来求函数的最小值，就用梯度下降。 如果目标函数是似然函数（Likelihood function），就是要最大化似然函数来求函数的最大值，那就用梯度上升。在逻辑回归中， 损失函数和似然函数无非就是互为正负关系。

只需要在迭代公式中的加法变成减法。因此，对应的公式可以写成

from __future__ import print_function
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------------------------------------------------------------------------
# 使用 Logistic 回归在简单数据集上的分类


# 解析数据
def loadDataSet(file_name):
    '''
    Desc: 
        加载并解析数据
    Args:
        file_name -- 文件名称，要解析的文件所在磁盘位置
    Returns:
        dataMat -- 原始数据的特征
        labelMat -- 原始数据的标签，也就是每条样本对应的类别
    '''
    # dataMat为原始数据， labelMat为原始数据的标签
    dataMat = []
    labelMat = []
    fr = open(file_name)
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        if len(lineArr) == 1:
            continue    # 这里如果就一个空的元素，则跳过本次循环
        # 为了方便计算，我们将 X0 的值设为 1.0 ，也就是在每一行的开头添加一个 1.0 作为 X0
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat, labelMat


# sigmoid跳跃函数
def sigmoid(inX):
    # return 1.0 / (1 + exp(-inX))

    # Tanh是Sigmoid的变形，与 sigmoid 不同的是，tanh 是0均值的。因此，实际应用中，tanh 会比 sigmoid 更好。
    return 2 * 1.0/(1+exp(-2*inX)) - 1


# 正常的处理方案
# 两个参数: 第一个参数==> dataMatIn 是一个2维NumPy数组，每列分别代表每个不同的特征，每行则代表每个训练样本。
# 第二个参数==> classLabels 是类别标签，它是一个 1*100 的行向量。为了便于矩阵计算，需要将该行向量转换为列向量，做法是将原向量转置，再将它赋值给labelMat。
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    '''
    Desc:
        正常的梯度上升法
    Args:
        dataMatIn -- 输入的 数据的特征 List
        classLabels -- 输入的数据的类别标签
    Returns:
        array(weights) -- 得到的最佳回归系数
    '''

    # 转化为矩阵[[1,1,2],[1,1,2]....]
    dataMatrix = mat(dataMatIn)  # 转换为 NumPy 矩阵
    # 转化为矩阵[[0,1,0,1,0,1.....]]，并转制[[0],[1],[0].....]
    # transpose() 行列转置函数
    # 将行向量转化为列向量   =>  矩阵的转置
    labelMat = mat(classLabels).transpose()  # 首先将数组转换为 NumPy 矩阵，然后再将行向量转置为列向量
    # m->数据量，样本数 n->特征数
    m, n = shape(dataMatrix)
    # print m, n, '__'*10, shape(dataMatrix.transpose()), '__'*100
    # alpha代表向目标移动的步长
    alpha = 0.001
    # 迭代次数
    maxCycles = 500
    # 生成一个长度和特征数相同的矩阵，此处n为3 -> [[1],[1],[1]]
    # weights 代表回归系数， 此处的 ones((n,1)) 创建一个长度和特征数相同的矩阵，其中的数全部都是 1
    weights = ones((n, 1))
    for k in range(maxCycles):  # heavy on matrix operations
        # m*3 的矩阵 * 3*1 的单位矩阵 ＝ m*1的矩阵
        # 那么乘上单位矩阵的意义，就代表: 通过公式得到的理论值
        # 参考地址:  矩阵乘法的本质是什么？ https://www.zhihu.com/question/21351965/answer/31050145
        # print 'dataMatrix====', dataMatrix 
        # print 'weights====', weights
        # n*3   *  3*1  = n*1
        h = sigmoid(dataMatrix * weights)  # 矩阵乘法
        # print 'hhhhhhh====', h
        # labelMat是实际值
        error = (labelMat - h)  # 向量相减
        # 0.001* (3*m)*(m*1) 表示在每一个列上的一个误差情况，最后得出 x1,x2,xn的系数的偏移量
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error  # 矩阵乘法，最后得到回归系数
    return array(weights)


# 随机梯度下降
# 梯度下降优化算法在每次更新数据集时都需要遍历整个数据集，计算复杂都较高
# 随机梯度下降一次只用一个样本点来更新回归系数
def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
    '''
    Desc:
        随机梯度下降，只使用一个样本点来更新回归系数
    Args:
        dataMatrix -- 输入数据的数据特征（除去最后一列）
        classLabels -- 输入数据的类别标签（最后一列数据）
    Returns:
        weights -- 得到的最佳回归系数
    '''
    m, n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.01
    # n*1的矩阵
    # 函数ones创建一个全1的数组
    weights = ones(n)  # 初始化长度为n的数组，元素全部为 1
    for i in range(m):
        # sum(dataMatrix[i]*weights)为了求 f(x)的值， f(x)=a1*x1+b2*x2+..+nn*xn,此处求出的 h 是一个具体的数值，而不是一个矩阵
        h = sigmoid(sum(dataMatrix[i] * weights))
        # print 'dataMatrix[i]===', dataMatrix[i]
        # 计算真实类别与预测类别之间的差值，然后按照该差值调整回归系数
        error = classLabels[i] - h
        # 0.01*(1*1)*(1*n)
        # print weights, "*" * 10, dataMatrix[i], "*" * 10, error
        weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
    return weights


# 随机梯度下降算法（随机化）
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
    '''
    Desc:
        改进版的随机梯度下降，使用随机的一个样本来更新回归系数
    Args:
        dataMatrix -- 输入数据的数据特征（除去最后一列数据）
        classLabels -- 输入数据的类别标签（最后一列数据）
        numIter=150 --  迭代次数
    Returns:
        weights -- 得到的最佳回归系数
    '''
    m, n = shape(dataMatrix)
    weights = ones(n)  # 创建与列数相同的矩阵的系数矩阵，所有的元素都是1
    # 随机梯度, 循环150,观察是否收敛
    for j in range(numIter):
        # [0, 1, 2 .. m-1]
        dataIndex = range(m)
        for i in range(m):
            # i和j的不断增大，导致alpha的值不断减少，但是不为0
            alpha = 4 / (
                1.0 + j + i
            ) + 0.0001  # alpha 会随着迭代不断减小，但永远不会减小到0，因为后边还有一个常数项0.0001
            # 随机产生一个 0～len()之间的一个值
            # random.uniform(x, y) 方法将随机生成下一个实数，它在[x,y]范围内,x是这个范围内的最小值，y是这个范围内的最大值。
            randIndex = int(random.uniform(0, len(dataIndex)))
            # sum(dataMatrix[i]*weights)为了求 f(x)的值， f(x)=a1*x1+b2*x2+..+nn*xn
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[dataIndex[randIndex]] * weights))
            error = classLabels[dataIndex[randIndex]] - h
            # print weights, '__h=%s' % h, '__'*20, alpha, '__'*20, error, '__'*20, dataMatrix[randIndex]
            weights = weights + alpha * error * dataMatrix[dataIndex[randIndex]]
            del (dataIndex[randIndex])
    return weights


# 可视化展示
def plotBestFit(dataArr, labelMat, weights):
    '''
        Desc:
            将我们得到的数据可视化展示出来
        Args:
            dataArr:样本数据的特征
            labelMat:样本数据的类别标签，即目标变量
            weights:回归系数
        Returns:
            None
    '''

    n = shape(dataArr)[0]
    xcord1 = []
    ycord1 = []
    xcord2 = []
    ycord2 = []
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i]) == 1:
            xcord1.append(dataArr[i, 1])
            ycord1.append(dataArr[i, 2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i, 1])
            ycord2.append(dataArr[i, 2])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    """
    y的由来，卧槽，是不是没看懂？
    首先理论上是这个样子的。
    dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
    w0*x0+w1*x1+w2*x2=f(x)
    x0最开始就设置为1叻， x2就是我们画图的y值，而f(x)被我们磨合误差给算到w0,w1,w2身上去了
    所以:  w0+w1*x+w2*y=0 => y = (-w0-w1*x)/w2   
    """
    y = (-weights[0] - weights[1] * x) / weights[2]
    ax.plot(x, y)
    plt.xlabel('X')
    plt.ylabel('Y')
    plt.show()


def simpleTest():
    # 1.收集并准备数据
    dataMat, labelMat = loadDataSet("data/5.Logistic/TestSet.txt")

    # print dataMat, '---\n', labelMat
    # 2.训练模型，  f(x)=a1*x1+b2*x2+..+nn*xn中 (a1,b2, .., nn).T的矩阵值
    # 因为数组没有是复制n份， array的乘法就是乘法
    dataArr = array(dataMat)
    # print dataArr
    # weights = gradAscent(dataArr, labelMat)
    # weights = stocGradAscent0(dataArr, labelMat)
    weights = stocGradAscent1(dataArr, labelMat)
    # print '*'*30, weights

    # 数据可视化
    plotBestFit(dataArr, labelMat, weights)

# --------------------------------------------------------------------------------
# 从疝气病症预测病马的死亡率
# 分类函数，根据回归系数和特征向量来计算 Sigmoid的值
def classifyVector(inX, weights):
    '''
    Desc: 
        最终的分类函数，根据回归系数和特征向量来计算 Sigmoid 的值，大于0.5函数返回1，否则返回0
    Args:
        inX -- 特征向量，features
        weights -- 根据梯度下降/随机梯度下降 计算得到的回归系数
    Returns:
        如果 prob 计算大于 0.5 函数返回 1
        否则返回 0
    '''
    prob = sigmoid(sum(inX * weights))
    if prob > 0.5: return 1.0
    else: return 0.0


# 打开测试集和训练集,并对数据进行格式化处理
def colicTest():
    '''
    Desc:
        打开测试集和训练集，并对数据进行格式化处理
    Args:
        None
    Returns:
        errorRate -- 分类错误率
    '''
    frTrain = open('data/5.Logistic/horseColicTraining.txt')
    frTest = open('data/5.Logistic/horseColicTest.txt')
    trainingSet = []
    trainingLabels = []
    # 解析训练数据集中的数据特征和Labels
    # trainingSet 中存储训练数据集的特征，trainingLabels 存储训练数据集的样本对应的分类标签
    for line in frTrain.readlines():
        currLine = line.strip().split('\t')
        lineArr = []
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        trainingSet.append(lineArr)
        trainingLabels.append(float(currLine[21]))
    # 使用 改进后的 随机梯度下降算法 求得在此数据集上的最佳回归系数 trainWeights
    trainWeights = stocGradAscent1(array(trainingSet), trainingLabels, 500)
    # trainWeights = stocGradAscent0(array(trainingSet), trainingLabels)
    errorCount = 0
    numTestVec = 0.0
    # 读取 测试数据集 进行测试，计算分类错误的样本条数和最终的错误率
    for line in frTest.readlines():
        numTestVec += 1.0
        currLine = line.strip().split('\t')
        lineArr = []
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights)) != int(
                currLine[21]):
            errorCount += 1
    errorRate = (float(errorCount) / numTestVec)
    print("the error rate of this test is: %f" % errorRate)
    return errorRate


# 调用 colicTest() 10次并求结果的平均值
def multiTest():
    numTests = 10
    errorSum = 0.0
    for k in range(numTests):
        errorSum += colicTest()
    print("after %d iterations the average error rate is: %f" % (numTests, errorSum / float(numTests)))

simpleTest()
# multiTest()

 

# 逻辑回归中的 L1 惩罚和稀缺性 L1 Penalty and Sparsity in Logistic Regression
print(__doc__)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn import datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

digits = datasets.load_digits()

X, y = digits.data, digits.target
X = StandardScaler().fit_transform(X)

# 将大小数字分类为小
y = (y > 4).astype(np.int)


# 设置正则化参数
for i, C in enumerate((100, 1, 0.01)):
    # 减少训练时间短的容忍度
    clf_l1_LR = LogisticRegression(C=C, penalty='l1', tol=0.01)
    clf_l2_LR = LogisticRegression(C=C, penalty='l2', tol=0.01)
    clf_l1_LR.fit(X, y)
    clf_l2_LR.fit(X, y)

    coef_l1_LR = clf_l1_LR.coef_.ravel()
    coef_l2_LR = clf_l2_LR.coef_.ravel()

    # coef_l1_LR contains zeros due to the
    # L1 sparsity inducing norm
    # 由于 L1 稀疏诱导规范，coef_l1_LR 包含零

    sparsity_l1_LR = np.mean(coef_l1_LR == 0) * 100
    sparsity_l2_LR = np.mean(coef_l2_LR == 0) * 100

    print("C=%.2f" % C)
    print("Sparsity with L1 penalty: %.2f%%" % sparsity_l1_LR)
    print("score with L1 penalty: %.4f" % clf_l1_LR.score(X, y))
    print("Sparsity with L2 penalty: %.2f%%" % sparsity_l2_LR)
    print("score with L2 penalty: %.4f" % clf_l2_LR.score(X, y))

    l1_plot = plt.subplot(3, 2, 2 * i + 1)
    l2_plot = plt.subplot(3, 2, 2 * (i + 1))
    if i == 0:
        l1_plot.set_title("L1 penalty")
        l2_plot.set_title("L2 penalty")

    l1_plot.imshow(np.abs(coef_l1_LR.reshape(8, 8)), interpolation='nearest',
                   cmap='binary', vmax=1, vmin=0)
    l2_plot.imshow(np.abs(coef_l2_LR.reshape(8, 8)), interpolation='nearest',
                   cmap='binary', vmax=1, vmin=0)
    plt.text(-8, 3, "C = %.2f" % C)

    l1_plot.set_xticks(())
    l1_plot.set_yticks(())
    l2_plot.set_xticks(())
    l2_plot.set_yticks(())

plt.show()
# 具有 L1-逻辑回归的路径
from datetime import datetime
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn import linear_model
from sklearn import datasets
from sklearn.svm import l1_min_c

iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

X = X[y != 2]
y = y[y != 2]

X -= np.mean(X, 0)

cs = l1_min_c(X, y, loss='log') * np.logspace(0, 3)


print("Computing regularization path ...")
start = datetime.now()
clf = linear_model.LogisticRegression(C=1.0, penalty='l1', tol=1e-6)
coefs_ = []
for c in cs:
    clf.set_params(C=c)
    clf.fit(X, y)
    coefs_.append(clf.coef_.ravel().copy())
print("This took ", datetime.now() - start)

coefs_ = np.array(coefs_)
plt.plot(np.log10(cs), coefs_)
ymin, ymax = plt.ylim()
plt.xlabel('log(C)')
plt.ylabel('Coefficients')
plt.title('Logistic Regression Path')
plt.axis('tight')
plt.show()
# 绘制多项式和一对二的逻辑回归 Plot multinomial and One-vs-Rest Logistic Regression
print(__doc__)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 制作 3 类数据集进行分类
centers = [[-5, 0], [0, 1.5], [5, -1]]
X, y = make_blobs(n_samples=1000, centers=centers, random_state=40)
transformation = [[0.4, 0.2], [-0.4, 1.2]]
X = np.dot(X, transformation)

for multi_class in ('multinomial', 'ovr'):
    clf = LogisticRegression(solver='sag', max_iter=100, random_state=42,
                             multi_class=multi_class).fit(X, y)

    # 打印训练分数
    print("training score : %.3f (%s)" % (clf.score(X, y), multi_class))

    # 创建一个网格来绘制
    h = .02  # 网格中的步长
    x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),
                         np.arange(y_min, y_max, h))

    # 绘制决策边界。为此，我们将为网格 [x_min, x_max]x[y_min, y_max]中的每个点分配一个颜色。
    Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    # 将结果放入彩色图
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    plt.figure()
    plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired)
    plt.title("Decision surface of LogisticRegression (%s)" % multi_class)
    plt.axis('tight')

    # 将训练点也绘制进入
    colors = "bry"
    for i, color in zip(clf.classes_, colors):
        idx = np.where(y == i)
        plt.scatter(X[idx, 0], X[idx, 1], c=color, cmap=plt.cm.Paired)

    # 绘制三个一对数分类器
    xmin, xmax = plt.xlim()
    ymin, ymax = plt.ylim()
    coef = clf.coef_
    intercept = clf.intercept_

    def plot_hyperplane(c, color):
        def line(x0):
            return (-(x0 * coef[c, 0]) - intercept[c]) / coef[c, 1]
        plt.plot([xmin, xmax], [line(xmin), line(xmax)],
                 ls="--", color=color)

    for i, color in zip(clf.classes_, colors):
        plot_hyperplane(i, color)

plt.show()

from __future__ import print_function

# Logistic Regression 3-class Classifier 逻辑回归 3-类 分类器 

print(__doc__)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import linear_model, datasets

# 引入一些数据来玩
iris = datasets.load_iris()
# 我们只采用样本数据的前两个feature
X = iris.data[:, :2]  
Y = iris.target

h = .02  # 网格中的步长

logreg = linear_model.LogisticRegression(C=1e5)

# 我们创建了一个 Neighbours Classifier 的实例，并拟合数据。
logreg.fit(X, Y)

# 绘制决策边界。为此我们将为网格 [x_min, x_max]x[y_min, y_max] 中的每个点分配一个颜色。
x_min, x_max = X[:, 0].min() - .5, X[:, 0].max() + .5
y_min, y_max = X[:, 1].min() - .5, X[:, 1].max() + .5
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
Z = logreg.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

# 将结果放入彩色图中
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.figure(1, figsize=(4, 3))
plt.pcolormesh(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired)

# 将训练点也同样放入彩色图中
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=Y, edgecolors='k', cmap=plt.cm.Paired)
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')

plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.ylim(yy.min(), yy.max())
plt.xticks(())
plt.yticks(())

plt.show()

# Logistic function 逻辑回归函数
# 这个类似于咱们之前讲解 logistic 回归的 Sigmoid 函数，模拟的阶跃函数
print(__doc__)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn import linear_model

# 这是我们的测试集，它只是一条直线，带有一些高斯噪声。
xmin, xmax = -5, 5
n_samples = 100
np.random.seed(0)
X = np.random.normal(size=n_samples)
y = (X > 0).astype(np.float)
X[X > 0] *= 4
X += .3 * np.random.normal(size=n_samples)

X = X[:, np.newaxis]
# 运行分类器
clf = linear_model.LogisticRegression(C=1e5)
clf.fit(X, y)

# 并且画出我们的结果
plt.figure(1, figsize=(4, 3))
plt.clf()
plt.scatter(X.ravel(), y, color='black', zorder=20)
X_test = np.linspace(-5, 10, 300)


def model(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))
loss = model(X_test * clf.coef_ + clf.intercept_).ravel()
plt.plot(X_test, loss, color='red', linewidth=3)

ols = linear_model.LinearRegression()
ols.fit(X, y)
plt.plot(X_test, ols.coef_ * X_test + ols.intercept_, linewidth=1)
plt.axhline(.5, color='.5')

plt.ylabel('y')
plt.xlabel('X')
plt.xticks(range(-5, 10))
plt.yticks([0, 0.5, 1])
plt.ylim(-.25, 1.25)
plt.xlim(-4, 10)
plt.legend(('Logistic Regression Model', 'Linear Regression Model'),
           loc="lower right", fontsize='small')
plt.show()