学习目标

• 理解Harris和Shi-Tomasi算法的原理
• 能够利用Harris和Shi-Tomasi进行角点检测

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1 Harris角点检测

1.1 原理

$Harris$角点检测的思想是通过图像的局部的小窗口观察图像，角点的特征是窗口沿任意方向移动都会导致图像灰度的明显变化，如下图所示：

将上述思想转换为数学形式，即将局部窗口向各个方向移动$(u,v)$并计算所有灰度差异的总和，表达式如下：
$$E(u,v)=\sum _{x,y}w(x,y)[I(x+u,y+v)-I(x,y){]}^2$$

其中$I(x,y)$是局部窗口的图像灰度，$I(x+u,y+v)$是平移后的图像灰度，$w(x,y)$是窗口函数，该可以是矩形窗口，也可以是对每一个像素赋予不同权重的高斯窗口，如下所示：

角点检测中使$E(u,v)$的值最大。利用一阶泰勒展开有：
$$I(x+u,y+v)=I(x,y)+I_{x}u+I_{u}v$$

其中$I_x$和$I_y$是沿x和y方向的导数，可用sobel算子计算。

推导如下：

$M$矩阵决定了$E(u,v)$的取值，下面我们利用$M$来求角点，$M$是$I_x$和$I{}_y$​​ 的二次项函数，可以表示成椭圆的形状，椭圆的长短半轴由$M$的特征值$\lambda {}_1$和$\lambda {}_2$决定，方向由特征矢量决定，如下图所示：

椭圆函数特征值与图像中的角点、直线（边缘）和平面之间的关系如下图所示。

共可分为三种情况：

• 图像中的直线。一个特征值大，另一个特征值小，${\lambda }_1>>{\lambda }_2$或 ${\lambda }_2>>{\lambda }_1$。椭圆函数值在某一方向上大，在其他方向上小。
• 图像中的平面。两个特征值都小，且近似相等；椭圆函数数值在各个方向上都小。
• 图像中的角点。两个特征值都大，且近似相等，椭圆函数在所有方向都增大

$Harris$给出的角点计算方法并不需要计算具体的特征值，而是计算一个角点响应值$R$来判断角点。
$R$的计算公式为：

$$R=detM-\alpha (traceM{)}^2$$

式中，$detM$为矩阵$M$的行列式；$traceM$为矩阵$M$的迹；$\alpha$为常数，取值范围为$0.040.06$。事实上，特征是隐含在$detM$和$traceM$中，因为:

$detM={\lambda }_1{\lambda }_2$
$traceM={\lambda }_1+{\lambda }_2$

那我们怎么判断角点呢？如下图所示：

• 当$R$为大数值的正数时是角点
• 当$R$为大数值的负数时是边界
• 当$R$为小数是认为是平坦区域

1.2 实现

在OpenCV中实现Hariis检测使用的API是：

dst=cv.cornerHarris(src, blockSize, ksize, k)

参数：

• img：数据类型为 float32 的输入图像。

• blockSize：角点检测中要考虑的邻域大小。

• ksize：sobel求导使用的核大小

• k ：角点检测方程中的自由参数，取值参数为 [0.04，0.06].

示例：

import cv2 as cv
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt
# 1 读取图像，并转换成灰度图像
img = cv.imread('./image/chessboard.jpg')
gray = cv.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2GRAY)
# 2 角点检测
# 2.1 输入图像必须是 float32
gray = np.float32(gray)

# 2.2 最后一个参数在 0.04 到 0.05 之间
dst = cv.cornerHarris(gray,2,3,0.04)
# 3 设置阈值，将角点绘制出来，阈值根据图像进行选择
img[dst>0.001*dst.max()] = [0,0,255]
# 4 图像显示
plt.figure(figsize=(10,8),dpi=100)
plt.imshow(img[:,:,::-1]),plt.title('Harris角点检测')
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

结果如下：

Harris角点检测的优缺点：

优点：

• 旋转不变性，椭圆转过一定角度但是其形状保持不变（特征值保持不变）
• 对于图像灰度的仿射变化具有部分的不变性，由于仅仅使用了图像的一介导数，对于图像灰度平移变化不变；对于图像灰度尺度变化不变

缺点：

• 对尺度很敏感，不具备几何尺度不变性。
• 提取的角点是像素级的

2 Shi-Tomasi角点检测

2.1 原理

$Shi-Tomasi$算法是对$Harris$角点检测算法的改进，一般会比$Harris$算法得到更好的角点。$Harris$ 算法的角点响应函数是将矩阵 $M$ 的行列式值与 $M$ 的迹相减，利用差值判断是否为角点。后来$Shi$ 和$Tomasi$ 提出改进的方法是，若矩阵$M$的两个特征值中较小的一个大于阈值，则认为他是角点，即：

$$R=min({\lambda }_1,{\lambda }_2)$$

如下图所示：

从这幅图中，可以看出来只有当 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 都大于最小值时，才被认为是角点。

2.2 实现

在OpenCV中实现Shi-Tomasi角点检测使用API:

corners = cv2.goodFeaturesToTrack ( image, maxcorners, qualityLevel, minDistance )

参数：

• Image: 输入灰度图像
• maxCorners : 获取角点数的数目。
• qualityLevel：该参数指出最低可接受的角点质量水平，在0-1之间。
• minDistance：角点之间最小的欧式距离，避免得到相邻特征点。

返回：

• Corners: 搜索到的角点，在这里所有低于质量水平的角点被排除掉，然后把合格的角点按质量排序，然后将质量较好的角点附近（小于最小欧式距离）的角点删掉，最后找到$maxCorners$个角点返回。
  示例：

import numpy as np 
import cv2 as cv
import matplotlib.pyplot as plt
# 1 读取图像
img = cv.imread('./image/tv.jpg') 
gray = cv.cvtColor(img,cv.COLOR_BGR2GRAY)
# 2 角点检测
corners = cv.goodFeaturesToTrack(gray,1000,0.01,10)  
# 3 绘制角点
for i in corners:
    x,y = i.ravel()
    cv.circle(img,(x,y),2,(0,0,255),-1)
# 4 图像展示
plt.figure(figsize=(10,8),dpi=100)
plt.imshow(img[:,:,::-1]),plt.title('shi-tomasi角点检测')
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

结果如下：

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总结

1. Harris算法

   思想：通过图像的局部的小窗口观察图像，角点的特征是窗口沿任意方向移动都会导致图像灰度的明显变化。

   API: cv.cornerHarris()

2. Shi-Tomasi算法

   对Harris算法的改进，能够更好地检测角点

   API: cv2.goodFeatureToTrack()