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数学建模：Logistic回归预测

Logistic回归预测

logistic方程的定义：

$$x_t=\frac{1}{c+a{e}^{bt}}$$

$$\frac{dx}{dt}=\frac{-ab{e}^{bt}}{{\left(c+a{e}^{bt}\right)}^2}>0$$

算法流程

1. 建立logistic方程

2. 求解 其三个未知系数：a，b，c

3. Yule算法求解：构建如下的 线性方程 $Z$

   $$\begin{array}{rl}\frac{x_{t+1}-x_t}{x_{t+1}}=1-\frac{x_t}{x_{t+1}}& \\ & =1-\frac{c+a{e}^{b(t+1)}}{c+a{e}^{bt}}\\ & =\frac{\left(a{e}^{bt}+c-c\right)\left(1-e^b\right)}{\left(c+a{e}^{bt}\right)}\\ & =\left(1-e^b\right)-c\left(1-e^b\right)x_t\end{array}$$

4. 对此方程进行最小二乘法（OLS），得到方程的估计值，然后进而得到 a，b，c的值：

$$\gamma =1-e^b\text{ 以及 }\beta =-c(1-e^b),$$

$$\hat{a}=exp\left\{\frac{1}{n}\right[\sum _{t=1}^{n}ln(\frac{1}{x_t}-\hat{c}-\frac{n(n+1)}{2}\hat{b})\left]\right\}5)$$

1. 然后需要预测自变量值 $x$ 直接带入即可。

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代码实现

function [a,b,c] = mfunc_Logistic(X)
    % logistic 回归预测
    % params:
    %       X: 输入向量
    % returns：
    %       a,b,c: 分别为logistic的未知参数

    n=length(X)-1;
    % 得到线性方程: Z
    for t=1:n
        Z(t)=(X(t+1)-X(t))/X(t+1);
    end
    
    % 前面插一列全1向量
    X1=[ones(n,1) X(1:n)']; % (46,2)
    
    % 对线性方程 Z 进行最小二乘法OLS
    % B：回归系数
    % bint：回归系数的置信区间
    % r：残差
    % rint：残差的置信区间
    % stats：包含四个统计量：R^2, F, 概率p, 估计误差方差
    Y=Z';
    [B,Bint,r,rint,stats]=regress(Y,X1);%最小二乘（OLS）
    gamma=B(1,1);
    beta=B(2,1);
    
    %% 带入公式 计算logistic方程的 abc
    b=log(1-gamma);
    c=beta/(exp(b)-1);
    a=exp((sum(log(1./X(1:n)-c))-n*(n+1)*b/2)/n);
end