Matlab（数值微积分）

目录

1.多项式微分与积分

1.1 微分

1.2 多项式微分

1.3 如何正确的使用Matlab?

1.3.1 Matlab表达多项式

1.3.2  polyval() 多项式求值

 1.3.3 polyder()多项式微分

1.4 多项式积分

1.4.1 如何正确表达

1.4.2 polyint() 多项式积分

2.数值的微分与积分

2.1 数值微分

 2.2 diff() 计算差值

  2.3 误差的准确性

 2.4 二阶、三阶导数

 2.5 数值积分

 2.5.1中点规则

 2.5.2 梯形规则（trapz）

2.5.3 辛普森积分法

2.5.4 三种积分方式比较

3.函数句柄

3.1 创建函数句柄

 3.1.1 有参数的句柄函数

3.1.2 无参数的句柄函数

3.1.3 无参且无括号

3.2 匿名函数

3.3 错误示范

3.4 integral() 数值积分

3.4.1 一级积分

3.4.2 integral2() 二级积分

3.4.3 integral3() 三级积分

1.多项式微分与积分

1.1 微分

  • 函数f(x)导数写为：F'(x)或者 \frac{df(x)}{dx}
  • 函数f(x)关于x的变化率

f (x0) 表示点x0处曲线相切的直线的系数。

1.2 多项式微分

对于一个多项式：f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}   来说，其微分多项式为：

f(x)=a_{n}nx^{n-1}+a_{n-1}(n-1)x^{n-2}+...+2a_{2}x+a_{1}

1.3 如何正确的使用Matlab?

1.3.1 Matlab表达多项式

f(x)=x^{3}-2x-5  

在上式中，我们用Matlab应该怎么进行表示（多项式在Matlab中被表示为行向量）

>> p=[1 0 -2 -5]

p =

     1     0    -2    -5

1.3.2  polyval() 多项式求值

语法：y=polyval(p,x)

y= polyval(p,x) 计算多项式 p 在 x 的每个点处的值。参数 p 是长度为 n+1 的向量，其元素是 n 次多项式的系数（降幂排序）：

p(x)=p_{1}x^{n}+p_{2}x^{n-1}+...+p_{n-1}x+p_{n}+1

示例1：

计算多项式 p(x)=3x^2+2x+1在点 x=5、7 、9 处的值。

>> p = [3 2 1];
x = [5 7 9];
y = polyval(p,x)

y =

    86   162   262

 示例2：

f(x)=9x^{3}-5x^{2}+3x+7   (-2<=x<=5) 

对该多项式进行画图求值

>> a = [9,-5,3,7]; x = -2:0.01:5;
f = polyval(a,x);
plot(x,f,'LineWidth', 2);%设置线条粗度
xlabel('x轴'); ylabel('f(x)');%设置xy轴名称
set(gca, 'FontSize', 14)%设置字体大小

 1.3.3 polyder()多项式微分

语法一：k=polyder(p)

k=polyder(p)返回的p中的系数表示的多项式的导数  k(x)=\frac{d}{dx}p(x)

示例：

创建一个向量来表示多项式 p(x)=3x^5−2x^3+x+5。

p = [3 0 -2 0 1 5];

 使用polyder对多项式进行求导，结果为： q(x)=15x^{4}-6x^{2}+1

q = polyder(p)
q = 1×5

    15     0    -6     0     1

 语法二：k= polyder(a,b) 返回多项式 a 和 b 的乘积的导数  k(x)=\frac{d}{dx}[a(x)b(x)]

示例：

创建两个向量来表示多项式 a(x)=x^4−2x^3+11 和 b(x)=x^2−10x+15。

a = [1 -2 0 0 11];
b = [1 -10 15];
q = polyder(a,b)
q = 1×6

     6   -60   140   -90    22  -110
最后的结果为:

语法三：[q,d] = polyder(a,b) 返回多项式 a 和 b 的商的导数 \frac{q(x)}{d(x)}=\frac{d}{dx}[\frac{a(x)}{b(x)}]

示例：

创建两个向量来表示商中的多项式    \frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x+4}

p = [1 0 -3 0 -1];
v = [1 4];
[q,d] = polyder(p,v)
q = 1×5

     3    16    -3   -24     1

d = 1×3

     1     8    16

 结果为：

\frac{q(x)}{d(x)}=\frac{3x^{4}+16x^{3}-3x^{2}-24x+1}{x^{2}+8x+16}

1.4 多项式积分

对于一个多项式：f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}

 积分多项式为： \int f(x)=\frac{1}{n+1}a_{n}x^{n+1}+\frac{1}{n}a_{n-1}x^{n}+...+a_{0}x+k

1.4.1 如何正确表达

1.4.2 polyint() 多项式积分

语法：q=polyint(p,k) 如果只有的一个参数p，默认k是0，使用积分常量k返回p中的系数所表示的多项积分

示例：

对两个多项式的乘积求积分  I=\int_{0}^{2}(x^{5}-x^{3}+1)(x^{2}+1)dx

  • 创建向量来表示多项式
p = [1 0 -1 0 0 1];
v = [1 0 1];
  •  多项式相乘，并使用积分常量k=3对所生成的表达式求积分
k = 3;
q = polyint(conv(p,v),k)
q = 1×9

    0.1250         0         0         0   -0.2500    0.3333         0    1.0000    3.0000
  •  通过在积分范围上计算q来求解I的值
a = 0;
b = 2;
I = diff(polyval(q,[a b]))
I = 
     32.6667

2.数值的微分与积分

2.1 数值微分

  • 最简单的方法：有限差分近似法
  • 计算x附近的割线   f'(x_{0})=\lim_{h \to0 } \frac{f((x_{0}+h)-f(x_{0}))}{h}  

​

 2.2 diff() 计算差值

diff() 计算向量中相邻元素之间的差值

x = [1 2 5 2 1];
diff(x)

​

>> x = [1 2 5 2 1];
diff(x)

ans =

     1     3    -3    -1

 示例：

求出两点之间的斜率

​

>> x = [1 2]; y = [5 7];
slope = diff(y)./diff(x) %y的变化量/x的变化量

slope =

     2

  2.3 误差的准确性

 f'(x_{0})=\lim_{h \to0 } \frac{f((x_{0}+h)-f(x_{0}))}{h}  当f(x)=sin(x)   h=0.1、0.01、0.001s时误差有什么变化？

当h=0.1时：

>> x0 = pi/2; h = 0.1;
x = [x0 x0+h];
y = [sin(x0) sin(x0+h)];
m = diff(y)./diff(x)

m =

   -0.0500

当h=0.01时：

>> x0 = pi/2; h = 0.01;
x = [x0 x0+h];
y = [sin(x0) sin(x0+h)];
m = diff(y)./diff(x)

m =

   -0.0050

当h=0.001时：

>> 
x0 = pi/2; h = 0.001;
x = [x0 x0+h];
y = [sin(x0) sin(x0+h)];
m = diff(y)./diff(x)

m =

  -5.0000e-04

由分析得：所以当h->0时，误差越小

g = colormap(lines); hold on;
for i=1:4
x = 0:power(10, -i):pi;
y = sin(x); m = diff(y)./diff(x);
plot(x(1:end-1), m, 'Color', g(i,:));%每次微分，系数的个数少1
end
hold off;
set(gca, 'XLim', [0, pi/2]); set(gca, 'YLim', [0, 1.2]);
set(gca, 'FontSize', 18); set(gca, 'FontName', 'symbol');
set(gca, 'XTick', 0:pi/4:pi/2);
set(gca, 'XTickLabel', {'0', 'p/4', 'p/2'});
h = legend('h=0.1','h=0.01','h=0.001','h=0.0001');
set(h,'FontName', 'Times New Roman'); box on;

​

 2.4 二阶、三阶导数

f(x)=x^{3}     (-2<=x<=2)

>> x = -2:0.005:2; y = x.^3;
m = diff(y)./diff(x);
m2 = diff(m)./diff(x(1:end-1));
plot(x,y,x(1:end-1),m,x(1:end-2),m2);%每次导数系数减1
xlabel('x', 'FontSize', 18);
ylabel('y', 'FontSize', 18);
legend('f(x) =x^3','f''(x)','f''''(x)');
set(gca, 'FontSize', 18);

​

 2.5 数值积分

s=\int_{a}^{b}f(x)d(x)\approx \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})\int_{a}^{b}L_{i}(x)dx

  • 求积法——用有限集点逼近积分

​

​

 2.5.1中点规则

​

 示例：

我们通过积分可以求得：

A=\int_{0}^{2}4x^{3}dx=x^{4}|_{0}^{2}=(2)^{4}-(0)^{4}=16

但是我们通过中点积分可得：

>> h = 0.05; x = 0:h:2;
midpoint = (x(1:end-1)+x(2:end))./2;
y = 4*midpoint.^3;
s = sum(h*y)

s =

   15.9950

解释：

midpoint = (x(1:end-1)+x(2:end))./2;

​

 2.5.2 梯形规则（trapz）

​

 A=\int_{0}^{2}4x^{3}dx=x^{4}|_{0}^{2}=(2)^{4}-(0)^{4}=16

>> h = 0.05; x = 0:h:2; y = 4*x.^3;
s = h*trapz(y)

s =

   16.0100

我们也可以自定义该函数：

h = 0.05; x = 0:h:2; y = 4*x.^3;
trapezoid = (y(1:end-1)+y(2:end))/2;
s = h*sum(trapezoid)

s =

   16.0100

2.5.3 辛普森积分法

​

 A=\int_{0}^{2}4x^{3}dx=x^{4}|_{0}^{2}=(2)^{4}-(0)^{4}=16


>> h = 0.05; x = 0:h:2; y = 4*x.^3;
s = h/3*(y(1)+2*sum(y(3:2:end-2))+...
4*sum(y(2:2:end))+y(end))

s =

    16

2.5.4 三种积分方式比较

​

由分析易得： 辛普森积分法误差最小

3.函数句柄

       函数句柄是一种存储指向函数的关联关系的Matlab数据类型，间接调用函数使您在调用函数时无需考虑调用位置，函数句柄的典型用法包括：

  • 将一个函数传递到另一个函数（通常称为复合函数）
  • 指定回调函数
  • 构造以内联方式定义而非存储在程序文件(匿名函数)中的函数句柄
  • 从主函数外调用局部函数

查看h是否是函数句柄

isa(h,'function_handle')

3.1 创建函数句柄

通过在函数名称前添加一个 @ 符号来为函数创建句柄。

f = @myfunction;

 3.1.1 有参数的句柄函数

使用句柄调用函数的方式与直接调用函数一样，例如：

function y = computeSquare(x)
y = x.^2;
end

创建句柄并调用该函数以计算 4 的平方。

f = @computeSquare;
a = 4;
b = f(a)
b =

    16

3.1.2 无参数的句柄函数

如果该函数不需要任何输入，则您可以使用空括号调用该函数，例如：

h = @ones;
a = h()
a =

    1

3.1.3 无参且无括号

如果不使用括号，则该赋值会创建另一个函数句柄。

a = h
a = 

    @ones

3.2 匿名函数

        您可以创建指向匿名函数的句柄。匿名函数是基于单行表达式的 MATLAB 函数，不需要程序文件。构造指向匿名函数的句柄，方法是定义 anonymous_function 函数主体，以及指向匿名函数 arglist 的以逗号分隔的输入参数列表。语法为：

h = @(arglist)anonymous_function

例如，创建一个指向用于计算平方数的匿名函数的句柄 sqr，并使用其句柄调用该匿名函数。

sqr = @(n) n.^2;
x = sqr(3)
x =

     9

3.3 错误示范

function [y] = xy_plot(input,x)
% xy_plot receives the handle of a function
% and plots that function of x
y = input(x); plot(x,y,'r--');
xlabel('x'); ylabel('function(x)');
end

>> xy_plot(sin,0:0.01:2*pi)
错误使用 sin
输入参数的数目不足。

       调用参数的时候，如果该参数也是一个函数，这个时候直接将函数当成参数输入进去是不妥的，会直接报错，这个时候我们就需要句柄

>> 
xy_plot(@sin,0:0.01:2*pi)

ans =

  列 1 至 11

         0    0.0100    0.0200    0.0300    0.0400    0.0500    0.0600    0.0699    0.0799    0.0899    0.0998

  列 12 至 22

    0.1098    0.1197    0.1296    0.1395    0.1494    0.1593    0.1692    0.1790    0.1889    0.1987    0.2085

  列 23 至 33

    0.2182    0.2280    0.2377    0.2474    0.2571    0.2667    0.2764    0.2860    0.2955    0.3051    0.3146
...

3.4 integral() 数值积分

3.4.1 一级积分

\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{3}-2x-5}dx

我们通过句柄该怎么去解决呢？

>> y = @(x) 1./(x.^3-2*x-5);
integral(y,0,2)

ans =

   -0.4605

3.4.2 integral2() 二级积分


>> f = @(x,y) y.*sin(x)+x.*cos(y);
integral2(f,pi,2*pi,0,pi)

ans =

   -9.8696

3.4.3 integral3() 三级积分


>> f = @(x,y,z) y.*sin(x)+z.*cos(y);
integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)

ans =

    2.0000

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：/a/101442.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系我们进行投诉反馈qq邮箱809451989@qq.com，一经查实，立即删除！

相关文章

django.core.exceptions.AppRegistryNotReady: Apps aren‘t loaded yet.

django.core.exceptions.AppRegistryNotReady: Apps aren‘t loaded yet.

运行django测试用例报错django.core.exceptions.AppRegistryNotReady: Apps arent loaded yet. 解决&#xff1a;在测试文件上方加上 django.setup() django.setup()是Django框架中的一个函数。它用于在非Django环境下使用Django的各种功能、模型和设置。 在常规的Django应用…
阅读更多...
如何中mac上安装多版本python并配置PATH

如何中mac上安装多版本python并配置PATH

摘要 mac 默认安装的python是 python3&#xff0c;但是如果我们需要其他python版本时&#xff0c;该怎么办呢&#xff1f; 例如&#xff1a;需要python2 版本&#xff0c;如果使用homebrew安装会提示没有python2。同时使用python --version 会发现commond not found。 所以本…
阅读更多...
POI-TL制作word

POI-TL制作word

本文相当于笔记&#xff0c;主要根据官方文档Poi-tl Documentation和poi-tl的使用&#xff08;最全详解&#xff09;_JavaSupeMan的博客-CSDN博客文章进行学习&#xff08;上班够用&#xff09; Data AllArgsConstructor NoArgsConstructor ToString EqualsAndHashCode public …
阅读更多...
[杂谈]-2023年实现M2M的技术有哪些？

[杂谈]-2023年实现M2M的技术有哪些？

2023年实现M2M的技术有哪些&#xff1f; 文章目录 2023年实现M2M的技术有哪些&#xff1f;1、寻找连接2、M2M与IoT3、流行的 M2M 协议 在当今的数字世界中&#xff0c;机器对机器 (M2M) 正在迅速成为标准。 M2M 包括使联网设备能够交换数据或信息的任何技术。 它可以是有线或无…
阅读更多...
ESLint 中的“ space-before-function-paren ”相关报错及其解决方案

ESLint 中的“ space-before-function-paren ”相关报错及其解决方案

ESLint 中的“ space-before-function-paren ”相关报错及其解决方案 出现的问题及其报错&#xff1a; 在 VScode 中&#xff0c;在使用带有 ESLint 工具的项目中&#xff0c;保存会发现报错&#xff0c;并且修改好代码格式后&#xff0c;保存会发现代码格式依然出现问题&…
阅读更多...
HTTP介绍：一文了解什么是HTTP

HTTP介绍：一文了解什么是HTTP

前言&#xff1a; 在当今数字时代&#xff0c;互联网已经成为人们生活中不可或缺的一部分。无论是浏览网页、发送电子邮件还是在线购物&#xff0c;我们都离不开超文本传输协议&#xff08;HTTP&#xff09;。HTTP作为一种通信协议&#xff0c;扮演着连接客户端和服务器的重要角…
阅读更多...
OpenCV（十四）：ROI区域截取

OpenCV（十四）：ROI区域截取

在OpenCV中&#xff0c;你可以使用Rect对象或cv::Range来截取图像的感兴趣区域&#xff08;Region of Interest&#xff0c;ROI&#xff09;。 方法一&#xff1a;使用Rect对象截取图像 Rect_(_Tp _x&#xff0c; _Tp _y&#xff0c; _Tp _width,_Tp _height) Tp:数据类型&…
阅读更多...
数据库（MySQL）的存储过程

数据库（MySQL）的存储过程

一、存储过程介绍 存储过程是事先经过编译并存储在数据库中的一段SQL 语句的集合&#xff0c;调用存储过程可以简化应用开发人员的很多工作&#xff0c;减少数据在数据库和应用服务器之间的传输&#xff0c;对于提高数据处理的效率是有好处的。 存储过程思想上很简单&#xff0…
阅读更多...
失效的访问控制漏洞复现（dvwa）

失效的访问控制漏洞复现（dvwa）

文章目录 失效访问控制是什么&#xff1f;dvwa漏洞复现用未授权访问获取shell 代码审计 失效访问控制是什么&#xff1f; 由于缺乏自动化的检测和应用程序开发人员缺乏有效 的功能测试&#xff0c;因而访问控制缺陷很常见。导致攻击者可以冒充用户、管理员或拥有特权的用户&…
阅读更多...
Shell自动化日志维护脚本

Shell自动化日志维护脚本

简介&#xff1a; 系统日志对于了解操作系统的运行状况、故障排除和性能分析至关重要。然而&#xff0c;长期积累的日志文件可能变得庞大&#xff0c;影响系统性能。在这篇文章中&#xff0c;我们将介绍一个自动化的解决方案&#xff0c;使用 Bash 脚本来监控和维护系统日志文件…
阅读更多...
编译KArchive在windows10下

编译KArchive在windows10下

使用QT6和VS2019编译KArchive的简要步骤&#xff1a; 安装 Qt &#xff0c;我是用源码自己编译的 "F:\qtbuild"安装CMakefile并配置环境变量安装Git下载ECM源码 https://github.com/KDE/extra-cmake-modules.git-------------------------------------------------…
阅读更多...
【业务功能篇94】微服务-springcloud-springboot-认证服务-注册功能-第三方短信验证API

【业务功能篇94】微服务-springcloud-springboot-认证服务-注册功能-第三方短信验证API

商城认证服务 一、搭建认证服务环境 结合我们前面介绍的商城的架构我们需要单独的搭建一个认证服务。 1.创建项目 首先创建一个SpringBoot项目&#xff0c;然后添加对应的依赖 <?xml version"1.0" encoding"UTF-8"?> <project xmlns"htt…
阅读更多...
ELK日志收集系统（四十九）

ELK日志收集系统（四十九）

提示&#xff1a;文章写完后&#xff0c;目录可以自动生成&#xff0c;如何生成可参考右边的帮助文档 目录 前言 一、概述 二、组件 1. elasticsearch 2. logstash 2.1 工作过程 2.2 INPUT 2.3 FILETER 2.4 OUTPUTS 3. kibana 三、架构类型 3.1 ELK 3.2 ELKK 3.3 ELFK 3.5 EF…
阅读更多...
kubesphere安装Maven+JDK17 流水线打包

kubesphere安装Maven+JDK17 流水线打包

kubesphere 3.4.0版本&#xff0c;默认支持的jav版本是8和11&#xff0c;不支持17 。需要我们自己定义JenKins Agent 。方法如下&#xff1a; 一、构建镜像 1、我们需要从Jenkins Agent的github仓库拉取master最新源码&#xff0c;最新源码里已经支持jdk17了。 git clone ht…
阅读更多...
C语言常见字符串和内存函数详解

C语言常见字符串和内存函数详解

字符串和内存函数 1. 前言2. 求字符串长度2.1 strlen 3. 长度不受限制的字符串函数3.1 strcpy3.2 strcat3.3 strcmp 4. 长度受限制的字符串函数4.1 strncpy4.2 strncat4.3 strncmp 5. 字符串查找5.1 strstr5.2 strtok 6. 错误信息报告6.1 strerror 7. 字符操作函数7.1 字符分类…
阅读更多...
程序员自由创业周记#2：前期准备

程序员自由创业周记#2：前期准备

感恩 上次公开了创业的决定后&#xff0c;得到了很多亲朋好友和陌生朋友的鼓励或支持&#xff0c;以不同的形式&#xff0c;感动之情溢于言表。这些都会记在心里&#xff0c;大恩不言谢~ 创业方向 笔者是一名资质平平的iOS开发程序猿&#xff0c;创业项目也就是开发App卖&am…
阅读更多...
iPhone 14四款机型电池容量详细参数揭秘

iPhone 14四款机型电池容量详细参数揭秘

苹果推出的iPhone 14系列与2021系列的设计和外形尺寸相同&#xff08;仅缩小了几分之一毫米&#xff09;&#xff0c;所以这并不奇怪&#xff0c;但电池容量也大致相同。 虽然可能不足以对电池寿命产生可衡量的影响&#xff0c;但也存在微小的差异。不同的是&#xff0c;现在有…
阅读更多...
水果库存系统(SSM+Thymeleaf版)

水果库存系统(SSM+Thymeleaf版)

不为失败找理由&#xff0c;只为成功找方法。所有的不甘&#xff0c;因为还心存梦想&#xff0c;所以在你放弃之前&#xff0c;好好拼一把&#xff0c;只怕心老&#xff0c;不怕路长。 文章目录 一、前言二、系统架构与需求分析1、技术栈1.1 后端1.2 前端 2、需求分析 三、设计…
阅读更多...
创建性-构造者设计模式

创建性-构造者设计模式

前言 我们在使用Retrofit等这些第三方框架的时候&#xff0c;发现他们的使用都很方便&#xff0c;比如Retrofit retrofit new Retrofit.Builder().build()&#xff0c;和我们通常直接new一个对象不同&#xff0c;他是交给Builder类&#xff0c;通过build()函数来构造一个Retro…
阅读更多...
【python使用 Pillow 库】缩小|放大图片

【python使用 Pillow 库】缩小|放大图片

当我们处理图像时&#xff0c;有时候需要调整图像的大小以适应特定的需求。本文将介绍如何使用 Python 的 PIL 库&#xff08;Pillow&#xff09;来调整图像的大小&#xff0c;并保存调整后的图像。 环境准备 在开始之前&#xff0c;我们需要安装 Pillow 库。可以使用以下命令…
阅读更多...
最新文章

Copyright @ 2022~2023