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欧拉回路是图论中的一个经典概念,其核心在于寻找一条路径,使得该路径遍历图中的每一条边且仅遍历一次,并最终回到起点。作为图论入门的第一个问题,我们已经对欧拉回路的两个基本判定条件很了解了:

  1. 偶数度顶点条件:图中每个顶点的度数(即连接到该顶点的边的数量)必须为偶数。这是因为路径进入一个顶点时必须能够离开该顶点,度数为奇数将导致路径在该顶点被中断。
  2. 连通性条件:对于无向图,从任意一点出发,能够遍历到图中所有的边。这保证了路径的完整性。

这两个条件的正确性可以从路径的构造性质来理解。偶数度顶点条件确保路径不会在中途终止,而连通性条件保证路径能覆盖图中的所有边而不遗漏。

Hierholzer算法求解具体路径

在满足欧拉回路条件的前提下,如何有效地求解一条具体欧拉回路?Hierholzer算法是一种经典且高效的解决方法。它的基本思想是从一个顶点出发,逐步扩展路径,直到回到起点形成一个闭合路径;随后检查是否有未访问的边,并通过将新路径嵌入已有路径的方式最终构造完整的欧拉回路。

  1. 选择起点:从图中任意一个顶点开始作为起点。
  2. 构造初始路径:从当前顶点出发,沿着未访问过的边前进,并标记这些边为已访问,直到回到起点,形成一个闭合路径。
  3. 处理剩余边:如果闭合路径中存在顶点尚有未访问的边,从该顶点重新出发,构造新的闭合路径,并将其嵌入原始路径中。
  4. 完成路径:重复上述步骤,直到所有边都被访问过。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <stack>
#include <unordered_map>
#include <list>
using namespace std;void findEulerianCircuit(unordered_map<int, list<int>>& graph, vector<int>& circuit) {stack<int> currentPath;  // 用于存储当前路径vector<int> tempCircuit;  // 用于存储最终的欧拉回路int currentNode = graph.begin()->first;  // 任意选择起点currentPath.push(currentNode);while (!currentPath.empty()) {if (!graph[currentNode].empty()) {currentPath.push(currentNode);int nextNode = graph[currentNode].front();graph[currentNode].pop_front();graph[nextNode].remove(currentNode);  // 移除双向边currentNode = nextNode;} else {tempCircuit.push_back(currentNode);currentNode = currentPath.top();currentPath.pop();}}circuit.assign(tempCircuit.rbegin(), tempCircuit.rend());  // 反转路径得到最终结果
}int main() {// 示例图的邻接表表示unordered_map<int, list<int>> graph = {{0, {1, 2}},{1, {0, 2}},{2, {0, 1, 3}},{3, {2}}};vector<int> circuit;findEulerianCircuit(graph, circuit);if (!circuit.empty()) {cout << "Eulerian Circuit: ";for (int node : circuit) {cout << node << " ";}cout << endl;} else {cout << "No Eulerian Circuit exists." << endl;}return 0;
}

算法正确性

Hierholzer算法的正确性来源于以下几点:

  1. 局部闭合路径构造:算法保证每次从一个顶点出发,形成的路径是闭合的,即回到起点后不遗漏任何已走过的边。
  2. 全局路径合并:新路径嵌入已有路径时不会破坏路径的连续性,因为路径的合并总是在共享顶点处完成。
  3. 边的完全覆盖:由于每条边在第一次访问时被标记为已访问,算法最终能够覆盖所有边,形成完整的欧拉回路。

可以简单理解,只要满足欧拉回路的条件,我们就不停的往前,有边就走,一定可以走出回路。

时间复杂度

Hierholzer算法的时间复杂度为 \(O(E)\),其中 \(E\) 是图中的边数。原因是每条边仅被访问两次(一次从起点出发,一次从终点回到起点),效率很高。

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