如何计算两个向量的余弦相似度

参考笔记：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/677639498

日常学习之：如何计算两个向量或者矩阵的余弦相似度-CSDN博客

1.余弦相似度定理

百度的解释：余弦相似度，又称为余弦相似性，是通过计算两个向量的夹角余弦值来评估他们的相似度。余弦相似度将向量根据坐标值，绘制到向量空间中，如最常见的二维空间

我们都学过向量的内积公式：

$a\bullet b=|a|\times|b|\times cos(\Theta)$

a：向量，可以是高维向量，例如 $a = [a_1,a_2,...,a_n]$

b：向量，可以是高维向量，例如 $b = [b_1,b_2,...,b_n]$

|a|： $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}$

|b|： $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}$

$\Theta$ ：a 向量与 b 向量的夹角

因此，两向量的余弦值为：

简单理解

所谓的相似是什么，假设有两个向量 A 和 B：

如果 A 可以通过乘以常数来代表 B ,那么我们可以说 A，B 是高度相似，如果忽略长度，相关系数就是 1
如果向量 A 只能代表向量 B 上的一部分，也就是 A 在 B 上有投影，那么 A，B 有一定的相关性
两个向量正交，意味着它们在空间中是垂直的，A 在 B 上没有投影，两个向量没有相关性
两个向量方向完全相反，即它们在空间中的方向是完全不同的，相关系数是 -1

而余弦值恰恰可以表示这种关系

当两个向量在同一方向上时，夹角为 0 度，余弦值为 1 ，称为相似向量(Similar vectors).如下图中的（a）
（b）中 y 向量可以代表 x 向量上的一部分，所以 x，y 有一定的相似性
当两个向量正交时，夹角为 90 度，余弦值为 0 ，表示两个向量在空间中垂直，没有相关性，称为正交向量(Orthogonal Vectors）. 如下图中的（c）
当两个向量在完全相反的方向上时，夹角为 180 度，余弦值为 -1，表示负相关，称为相反向量(Opposite Vectors). 如下图中的（d）

2.误区解读

余弦相似度衡量的是两个向量在方向上的相似性，而非长度或绝对位置。其取值范围是【-1，1】，其具体含义需要结合方向性和应用场景来理解

可能存在的一个误区是，很多人认为相似性必须是非负的，但实际上余弦相似度的负值同样包含信息。例如，在推荐系统中，负相似度可能表示用户喜好的对立面（后面会举例子），这对推荐也是有意义的

2.1 通常情况下的理解

当 $\color{red}cos(\Theta)$ 介于 [0, 1]：表示两向量方向相近（夹角在 0 到 90 之间）。例如：
- 0.8：高度相似（方向接近一致）
- 0.3：低度相似（方向部分相关）
当 $\color{red}cos(\Theta)$ 介于 [-1, 0]：表示两向量方向相反（夹角在 90 到 180 之间）。例如：
- -0.5：方向相反，但有一定程度的反向相关性
- -0.9：高度反向相关（接近完全相反方向）

负值是否表示“相似”？
取决于具体场景！在多数应用中（如文本相似性、推荐系统），相似性更关注方向是否一致（正值），负值可能表示“对立”或“不相关”

2.2 实际应用中的处理

（1）推荐系统

负值的意义：用户 A 喜欢的商品与用户 B 讨厌的商品可能有负相似度，可用于避免推荐
示例：
- 用户 A 的向量：[1, 0.5, 0.3]（喜欢科技产品）
- 用户 B 的向量：[-1, -0.5, -0.3]（讨厌科技产品）
- 计算可得两个向量的余弦相似度为 -1，表示完全相反的兴趣

（2）文本/图像相似性

仅关注正值：通常认为余弦相似度 > 0.5 表示显著相似，接近 1 为高度相似。
负值的处理：可能直接忽略（或视为无关），例如在搜索引擎中，负相似度的文档不会被返回

（3）情感分析

正向评论向量：[1, 0.8, 0.6]
负向评论向量：[-1, -0.7, -0.5]
计算可得两个向量的余弦相似度为 -0.95，表明两者情感强烈对立，但“相似”在反映情感极性的强度上

3.总结

4.代码实现

import numpy as np

def cosine_similarity(a, b):
    return np.dot(a, b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b))

# 示例1：方向相同
A = np.array([1, 2, 3])
B = np.array([2, 4, 6])
print(cosine_similarity(A, B))  # 输出：1.0

# 示例2：方向相反
C = np.array([-1, -2, -3])
print(cosine_similarity(A, C))  # 输出：-1.0

# 示例3：部分相似
D = np.array([1, 1, 1])
E = np.array([2, 2, 3])
print(cosine_similarity(D, E))  # 输出约0.98

# 示例4：弱相关性
F = np.array([1, 0, 0])
G = np.array([0, 0.5, 0.5])
print(cosine_similarity(F, G))  # 输出：0.0