目录
- 一、欧氏距离（Euclidean Distance）
- 公式：
- 原理：
- 二、曼哈顿距离（Manhattan Distance）
- 公式：
- 原理：
- 三、切比雪夫距离（Chebyshev Distance）
- 公式：
- 原理：
- 四、闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）
- 公式：
- 原理：
- 五、马氏距离（Mahalanobis Distance）
- 公式：
- 原理：
一、欧氏距离（Euclidean Distance）
欧氏距离是最常见的距离度量之一，用于计算两个点之间的直线距离。
公式：
对于二维空间中的两个点 P ( x 1 , y 1 ) \ P(x_1, y_1) P(x1,y1) 和 Q ( x 2 , y 2 ) \ Q(x_2, y_2) Q(x2,y2)：
d ( P , Q ) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} d(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2
在
n
\ n
n 维空间中(
P
n
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
\ P_n(x_1,x_2,...,x_n)
Pn(x1,x2,...,xn);
Q
n
(
y
1
,
y
2
,
.
.
.
,
y
n
)
\ Q_n(y_1,y_2,...,y_n)
Qn(y1,y2,...,yn))，计算公式为：
d
(
P
,
Q
)
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
d(P, Q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}
d(P,Q)=i=1∑n(xi−yi)2
注意是n维，而不是n个点，就是我们从初中到高中经常用到的距离公式！
原理：
- 计算两点间的直线最短路径。
- 适用于几何计算和机器学习中的距离计算。
二、曼哈顿距离（Manhattan Distance）
曼哈顿距离度量的是沿坐标轴方向的距离，而非直线距离。
公式：
对于二维空间中的两个点 P ( x 1 , y 1 ) \ P(x_1, y_1) P(x1,y1) 和 Q ( x 2 , y 2 ) \ Q(x_2, y_2) Q(x2,y2)：
d ( P , Q ) = ∣ x 2 − x 1 ∣ + ∣ y 2 − y 1 ∣ d(P, Q) = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1| d(P,Q)=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣
在 n \ n n 维空间中，公式为：
d ( P , Q ) = ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ d(P, Q) = \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i| d(P,Q)=i=1∑n∣xi−yi∣
原理：
- 适用于网格状城市（如曼哈顿街道）。
- 仅允许水平或垂直方向的移动。
三、切比雪夫距离（Chebyshev Distance）
切比雪夫距离计算的是最大坐标轴差异，适用于棋盘格场景。
公式：
对于二维空间中的两个点 P ( x 1 , y 1 ) \ P(x_1, y_1) P(x1,y1) 和 Q ( x 2 , y 2 ) \ Q(x_2, y_2) Q(x2,y2)：
d ( P , Q ) = max ( ∣ x 2 − x 1 ∣ , ∣ y 2 − y 1 ∣ ) d(P, Q) = \max(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|) d(P,Q)=max(∣x2−x1∣,∣y2−y1∣)
在 n \ n n 维空间中，公式为：
d ( P , Q ) = max i = 1 n ∣ x i − y i ∣ d(P, Q) = \max_{i=1}^n |x_i - y_i| d(P,Q)=i=1maxn∣xi−yi∣
原理：
- 适用于国际象棋中的国王移动（八个方向）。
- 计算最短步数时较为常见。
四、闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）
闵可夫斯基距离是欧氏距离和曼哈顿距离的广义形式，通过调整参数 p \ p p 来控制计算方式。
公式：
对于 n \ n n 维空间中的两个点：
d ( P , Q ) = ( ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ p ) 1 p d(P, Q) = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} d(P,Q)=(i=1∑n∣xi−yi∣p)p1
- 当 p = 1 \ p = 1 p=1 时，闵可夫斯基距离等于曼哈顿距离。
- 当 p = 2 \ p = 2 p=2 时，闵可夫斯基距离等于欧氏距离。
原理：
- 适用于灵活调整不同计算方式的场景。
- 通过改变 p \ p p 值，可适配不同任务。
五、马氏距离（Mahalanobis Distance）
马氏距离是一种考虑数据分布的距离度量方式，它不仅计算点之间的距离，还考虑变量的协方差关系。
公式：
对于两个点 P \ P P 和 Q \ Q Q，马氏距离定义为：
d ( P , Q ) = ( P − Q ) T Σ − 1 ( P − Q ) d(P, Q) = \sqrt{(P - Q)^T \Sigma^{-1} (P - Q)} d(P,Q)=(P−Q)TΣ−1(P−Q)
其中：
- Σ − 1 \ \Sigma^{-1} Σ−1 为数据的协方差矩阵的逆。
原理：
- 适用于多维数据分析，考虑特征之间的相关性。
- 常用于异常检测和**主成分分析（PCA）**等领域。
不同的距离度量方法适用于不同的任务场景，选择合适的距离计算方式能提高算法的效果！
