关于A φ方法criterion

 引理1

如何由范数导出内积

在数学中，特别是在泛函分析中，给定一个范数，可以定义一个与之相关的内积。这个过程不是总是可能的，但当一个赋范向量空间是完备的且满足平行四边形恒等式时，可以导出一个内积。以下是如何从范数导出内积的一般步骤：
1. **平行四边形恒等式**：首先，需要确认赋范空间满足平行四边形恒等式，即对于所有的向量 \( x \) 和 \( y \)，以下等式成立：
   \[ \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2) \]
   如果这个等式成立，那么这个空间被称为希尔伯特空间。
2. **定义内积**：在满足平行四边形恒等式的赋范空间中，可以定义一个内积 \( \langle \cdot, \cdot \rangle \) 如下：
   \[ \langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2) \]
   这个定义确保了内积的对称性和线性性。
3. **验证内积的性质**：需要验证所定义的内积满足内积空间的所有性质，包括：
   - 正定性：\( \langle x, x \rangle \geq 0 \) 对于所有 \( x \)，且 \( \langle x, x \rangle = 0 \) 当且仅当 \( x = 0 \)。
   - 共轭对称性：\( \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} \)。
   - 线性性：\( \langle ax + by, z \rangle = a\langle x, z \rangle + b\langle y, z \rangle \) 对于所有标量 \( a, b \) 和向量 \( x, y, z \)。
4. **导出范数**：最后，可以证明由内积导出的范数实际上与原始的范数是一致的，即：
   \[ \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} \]
   这表明原始的范数是由内积导出的。
这个过程表明，如果一个赋范空间是完备的且满足平行四边形恒等式，那么它是一个希尔伯特空间，其范数可以由一个内积导出。这个内积是通过上述定义构造的，并且它与原始的范数相兼容。