Starlink卫星动力学系统仿真建模第九讲-滑模（SMC）控制算法原理简介及卫星控制应用

滑模控制（Sliding Mode Control）算法详解

一、基本原理

滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）是一种变结构控制方法，通过设计一个滑模面（Sliding Surface），迫使系统状态在有限时间内到达该面，并在滑模面上沿预定轨迹滑动至平衡点。其核心特点是强鲁棒性，能够有效抑制参数不确定性、模型误差和外部扰动。
在这里插入图片描述

关键步骤：

滑模面设计：
定义滑模面 ( s(t) = 0 )，通常选择误差及其导数的线性组合。
例如，对二阶系统：
[
s(t) = \dot{e}(t) + \lambda e(t) \quad (\lambda > 0)
]
其中 ( e(t) = x_{\text{desired}} - x(t) )。
控制律设计：
设计控制输入 ( u(t) )，使得系统状态在有限时间内收敛到滑模面，并保持滑动。
控制律一般形式：
[
u(t) = u_{\text{eq}}(t) + u_{\text{sw}}(t)
]
- 等效控制 ( u_{\text{eq}} )：抵消系统动态，保证在滑模面上滑动。
- 切换控制 ( u_{\text{sw}} )：抑制扰动，通常包含符号函数 ( \text{sign}(s) )。
稳定性分析：
通过李雅普诺夫函数证明 ( \dot{V}(s) \leq -\eta |s| )，确保有限时间收敛。

二、分类

传统滑模控制
- 控制律包含不连续项（如符号函数），易引起抖振（高频振荡）。
- 示例：
  [
  u(t) = K \cdot \text{sign}(s)
  ]
高阶滑模控制
- 通过高阶导数平滑抖振，如超螺旋算法（Super-Twisting Algorithm）。
- 示例（二阶滑模）：
  [
  u(t) = -k_1 |s|^{1/2} \text{sign}(s) + v, \quad \dot{v} = -k_2 \text{sign}(s)
  ]
终端滑模控制
- 引入非线性滑模面，实现有限时间收敛。
- 示例：
  [
  s(t) = \dot{e} + \beta e^{q/p} \quad (\beta > 0, , q < p \text{为正奇数})
  ]

三、代码实现（Python）

以二阶系统为例，设计传统滑模控制器。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class SlidingModeController:
    def __init__(self, lambda_, K, dt):
        self.lambda_ = lambda_  # 滑模面参数
        self.K = K              # 切换增益
        self.dt = dt            # 采样时间
        self.prev_error = 0.0

    def compute(self, desired, actual, actual_derivative):
        error = desired - actual
        error_derivative = (error - self.prev_error) / self.dt
        self.prev_error = error

        # 滑模面 s = error_derivative + lambda * error
        s = error_derivative + self.lambda_ * error

        # 控制律: u = K * sign(s)
        u = self.K * np.sign(s)
        return u

# 系统模型（二阶系统）
def system_model(x, dx, u, dt):
    # 假设系统动力学: ddx = -2*dx - 3*x + u + 扰动
    ddx = -2 * dx - 3 * x + u + 0.5 * np.sin(10 * x)  # 加入扰动
    dx_new = dx + ddx * dt
    x_new = x + dx_new * dt
    return x_new, dx_new

# 参数初始化
lambda_ = 2.0
K = 5.0
dt = 0.01
controller = SlidingModeController(lambda_, K, dt)

# 仿真
desired = 1.0
x, dx = 0.0, 0.0
time = np.arange(0, 10, dt)
x_history = []

for t in time:
    u = controller.compute(desired, x, dx)
    x_new, dx_new = system_model(x, dx, u, dt)
    x, dx = x_new, dx_new
    x_history.append(x)

# 绘图
plt.plot(time, x_history, label='Actual')
plt.plot(time, [desired]*len(time), 'r--', label='Desired')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Position')
plt.legend()
plt.show()

四、在卫星姿态控制中的使用示例

场景

控制卫星三轴姿态（俯仰角、偏航角、滚动角），使其跟踪目标姿态角。
动力学模型（以俯仰轴为例）：
[
J \ddot{\theta} = u + d(t)
]

( J )：转动惯量
( \theta )：俯仰角
( u )：控制力矩
( d(t) )：外部扰动（如太阳辐射压力）。

滑模控制设计

定义误差：
[
e = \theta_{\text{desired}} - \theta
]
滑模面：
[
s = \dot{e} + \lambda e \quad (\lambda > 0)
]
控制律：
[
u = J \left( \ddot{\theta}_{\text{desired}} + \lambda \dot{e} \right) - K \cdot \text{sign}(s)
]
（包含等效控制和切换项）

代码片段（简化）

class SatelliteSMController:
    def __init__(self, lambda_, K, J, dt):
        self.lambda_ = lambda_
        self.K = K
        self.J = J
        self.dt = dt
        self.prev_error = 0.0

    def compute(self, theta_desired, theta, dtheta):
        error = theta_desired - theta
        error_derivative = (error - self.prev_error) / self.dt
        self.prev_error = error

        s = error_derivative + self.lambda_ * error
        u_eq = self.J * (0 + self.lambda_ * error_derivative)  # 假设目标角加速度为0
        u_sw = -self.K * np.sign(s)
        u = u_eq + u_sw
        return u

# 卫星姿态动力学仿真
J = 100.0  # 转动惯量
dt = 0.01
controller = SatelliteSMController(lambda_=1.5, K=50, J=J, dt=dt)
theta, dtheta = 0.0, 0.0
theta_desired = np.deg2rad(30)  # 目标30度

for _ in range(1000):
    u = controller.compute(theta_desired, theta, dtheta)
    ddtheta = (u + 10 * np.sin(2 * np.pi * 0.1 * _ * dt)) / J  # 控制输入 + 扰动
    dtheta += ddtheta * dt
    theta += dtheta * dt