Page Assist

Page Assist是一个开源的Chrome扩展程序，为本地AI模型提供一个直观的交互界面。通过它可以在任何网页上打开侧边栏或Web UI，与自己的AI模型进行对话，获取智能辅助。这种设计不仅方便了用户随时调用AI的能力，还保护了用户的隐私，因为所有的交互都是在本地完成的。
下载见本文绑定的资源，链接：https://blog.csdn.net/m0_56734068/article/details/143179789

扩展过程

1.下载后进“管理扩展程序菜单”，点击打包扩展程序。

2.选择你解压“pageassist-1.4.4-chrome.zip”存放的位置。

3.完成后，点“详情”得到如下说明。

4. 此页面往下翻，检查“固定到工具栏”是否为打开状态。打开后chrome浏览器地址栏后出现一个对话按钮。

使用过程

点对话框按钮，即打开deepseek网页用户界面web-ui，前提是你已部署好大模型了。

测试一

随便给个数学题目：1+2+3+...+100

3.点击答案下方的第二个按钮“复制到剪切板” Copy to clipboard，就得到答案的markdown标记语言。如以上答案贴在代码框里，如下：

<think>
I will use the formula for the sum of the first n natural numbers, which is \( \frac{n(n + 1)}{2} \).

Since there are 100 terms in this sequence, I substitute \( n = 100 \) into the formula.

Calculating this gives me \( \frac{100 \times 101}{2} = 5050 \).
</think>

To find the sum of the first 100 natural numbers (1 + 2 + 3 + ... + 100), we can use the formula for the sum of an arithmetic series:

\[
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Where:
- \( S_n \) is the sum of the first \( n \) natural numbers.
- \( n \) is the number of terms.

**Step-by-Step Solution:**

1. **Identify the Number of Terms (\( n \))**:  
   In this case, we are summing the first 100 natural numbers.
   
   \[
   n = 100
   \]

2. **Plug the Value into the Formula**:  
   
   \[
   S_{100} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2}
   \]
   
3. **Simplify the Expression**:  
   
   \[
   S_{100} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050
   \]

4. **Final Answer**:  
   
   \[
   1 + 2 + 3 + \dots + 100 = \boxed{5050}
   \]

而直接贴在发文的编辑框里，发表后就和web-ui里的显示一样了，包括用普通字符难以表达的数学公式也用LaTex公式展示出数学中正确的表达。

<think>
I will use the formula for the sum of the first n natural numbers, which is \( \frac{n(n + 1)}{2} \).

Since there are 100 terms in this sequence, I substitute \( n = 100 \) into the formula.

Calculating this gives me \( \frac{100 \times 101}{2} = 5050 \).
</think>

To find the sum of the first 100 natural numbers (1 + 2 + 3 + ... + 100), we can use the formula for the sum of an arithmetic series:

\[
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Where:
- \( S_n \) is the sum of the first \( n \) natural numbers.
- \( n \) is the number of terms.

**Step-by-Step Solution:**

1. **Identify the Number of Terms (\( n \))**:
In this case, we are summing the first 100 natural numbers.

\[
n = 100
\]

2. **Plug the Value into the Formula**:

\[
S_{100} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2}
\]

3. **Simplify the Expression**:

\[
S_{100} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050
\]

4. **Final Answer**:

\[
1 + 2 + 3 + \dots + 100 = \boxed{5050}
\]

测试二

y''+2y'+3y=0 请解这个微分方程，并写出答题过程。

DS大约化了3分钟时间解决问题。用14b和8b两种模型回答，最终结果一致的，思考过程写题经过有点不一样。

14b: （如下所示，回答的<think>部分写在代码框里）

<think>
好，我现在要解这个二阶常系数线性微分方程：y'' + 2y' + 3y = 0。嗯，让我慢慢想一想。

首先，这个方程看起来是齐次的，也就是说，它没有非齐次项，所以应该可以用特征方程法来解。那什么是特征方程呢？对，应该是把y''替换成r²，把y'替换成r，然后把方程中的y''、y'和y都变为相应的多项式，这样就得到一个关于r的二次方程。

所以，我来代入一下。原来的微分方程是y'' + 2y' + 3y = 0，特征方程就是把y''替换成r²，y'替换成r，y替换成1，所以得到：
r² + 2r + 3 = 0。

接下来，我需要解这个二次方程。用求根公式：r = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)，这里a=1，b=2，c=3。那代入进去就是：
r = [-2 ± √(4 - 12)] / 2 = [-2 ± √(-8)] / 2。

哎呀，这里有个问题，√(-8)等于多少呢？应该是虚数单位i乘以√8，所以继续计算：
√(-8) = i√8，而√8可以化简为2√2，所以r的两个解就是：
r = [-2 ± 2i√2] / 2。

接下来，我要把这个分母2约掉，得到：
r = -1 ± i√2。

所以，这个微分方程有复数根，形式是α + βi，其中α = -1，β = √2。因为这些根都是复数，所以解的结构应该涉及到指数函数和三角函数。我记得对于这样的根，通解是：
y(t) = e^(α t) [C1 cos(β t) + C2 sin(β t)]，
其中C1和C2是常数，由初始条件决定。

不过，我觉得这不够全面，因为有时候可能还会有实数的指数部分，不过这里根已经是复数了，所以应该直接用这个形式。对吧？

那我再检查一下，特征方程是否正确：r² + 2r +3 =0，没错。解出来的r确实是-1 ± i√2，这样写出通解也是正确的。

不过，我还记得有时候复数根也可以用欧拉公式来表达，但可能这里直接使用指数和正弦、余弦函数更方便一些。

嗯，总结一下，微分方程y'' + 2y' +3y=0的解是：
y(t) = e^(-t)[C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)]，
其中C1和C2是任意常数。

不过，为了确保没错，我再检查一下是否有计算错误的地方。首先，特征方程r² + 2r +3=0的判别式D = b² -4ac=4-12=-8，是正确的，所以根是复数。然后代入解的时候也没有问题，得到了r=-1 ± i√2，所以没错。

另外，如果我把这个解带回原微分方程，看看是否满足：
首先计算y = e^(-t)[C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)]，
那么y' = -e^(-t)[C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)] + e^(-t)[-C1 √2 sin(√2 t) + C2 √2 cos(√2 t)]，
而y''则是[e^(-t)][C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)] - 2e^(-t)[C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)] + e^(-t)[-C1 (√2)^2 sin(√2 t) - C2 (√2)^2 cos(√2 t)]。

嗯，这可能有点繁琐，不过我可以简化一下计算：

让我更仔细地算一遍导数：
y = e^{-t} (C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)),
那么y' = -e^{-t}(C1 cos(√2 t)+C2 sin(√2 t)) + e^{-t}(-C1 √2 sin(√2 t) + C2 √2 cos(√2 t))。
这是因为，导数的计算是：-e^{-t}乘以括号里的部分，加上e^{-t}乘以对cos和sin求导后的项。

然后y''就是：
首先，对y'求导，
= [-e^{-t}(C1 cos + C2 sin) + e^{-t}(-C1 √2 sin + C2 √2 cos)]的导数，
那这部分等于：
-e^{-t}(C1 cos + C2 sin) + [ -e^{-t}(C1 cos + C2 sin) ) 的导数，记得用乘积法则？
不对，其实应该是这样：
y' = (-C1 cos(√2 t) - C2 sin(√2 t)) e^{-t} + (-C1 √2 sin(√2 t) + C2 √2 cos(√2 t)) e^{-t}，
所以y''就是把这两项再次导数：
首先，第一部分是(-C1 cos + -C2 sin)e^{-t},
它的导数是：
[C1 √2 sin(√2 t) - C2 √2 cos(√2 t)] e^{-t} +
+ (-C1 cos + -C2 sin)e^{-t}，
然后第二项是(-C1 √2 sin + C2 √2 cos)e^{-t},
它的导数是：
[ -C1 (√2)^2 cos - C2 (√2)^2 sin ] e^{-t}
+ (-C1 √2 sin + C2 √2 cos) e^{-t}。

这样计算可能比较复杂，换种方式，我是否可以用更系统的方法来代入原方程呢？

另一种方法是，用特征方程法求出通解之后，再验证一下代入是否正确，不过其实已经得到了标准形式，所以或许不需要详细验证了。

或者，假设我有通解y = e^{-t}(C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)),
然后带回原方程：y'' + 2y' +3y=0，

计算各个导数：
先算y = e^{-t} (C1 cos + C2 sin),
那么y’ = -e^{-t}(C1 cos + C2 sin) + e^{-t}(-C1 √2 sin + C2 √2 cos),
接下来，y’’ 就是对y’求导：
= [e^{-t}(C1 cos + C2 sin)] - 2(e^{-t})(C1 cos + C2 sin)
+ e^{-t}[ (-C1 (√2)^2 sin - C2 (√2)^2 cos) ]
等一下，这可能太繁琐了，换个思路：

或者，可以利用微分方程的线性性质，将解带入原方程，看看是否等于0。

不过这可能花费比较多时间，我觉得或许可以接受这个通解，因为它来自正确的特征方程，并且步骤是对的，所以应该没问题。

综上所述，这个微分方程y'' + 2y' +3y=0的解是：
y(t) = e^{-t}[C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)]，
其中C1和C2由初始条件给出。

所以，我觉得这个过程没问题，得到的通解也是正确的。


**答案**
微分方程 \( y'' + 2y' + 3y = 0 \) 的解为：
\[
y(t) = e^{-t} \left[ C_1 \cos(\sqrt{2} t) + C_2 \sin(\sqrt{2} t) \right]
\]
其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

所以，最终答案是：
\[
\boxed{y(t) = e^{-t} \left( C_1 \cos(\sqrt{2} t) + C_2 \sin(\sqrt{2} t) \right)}
\]
</think>

首先，我们考虑解二阶常系数线性微分方程 \( y'' + 2y' + 3y = 0 \)。

1. **特征方程法**：
将 \( y'' \)、\( y' \) 和 \( y \) 分别替换为 \( r^2 \)、\( r \) 和 1，得到特征方程：
\[
r^2 + 2r + 3 = 0
\]

2. **求解特征方程**：
使用二次公式解得：
\[
r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}
\]

3. **通解形式**：
特征根为复数 \( -1 + i\sqrt{2} \) 和 \( -1 - i\sqrt{2} \)，因此解的形式为：
\[
y(t) = e^{-t} \left[ C_1 \cos(\sqrt{2} t) + C_2 \sin(\sqrt{2} t) \right]
\]
其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

最终答案为：
\[
\boxed{y(t) = e^{-t} \left( C_1 \cos(\sqrt{2} t) + C_2 \sin(\sqrt{2} t) \right)}
\]

8b:

<think>
嗯，我现在得解这个微分方程：y'' + 2y' + 3y = 0。好吧，先想想这是什么类型的方程。

首先，这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。一般来说，这样的方程可以用特征方程的方法来解。那我就按照步骤一步步来。

第一步，写出特征方程。原方程的特征方程应该是：r² + 2r + 3 = 0。对吧？因为二阶的话，y''对应的是r²，系数不变；y'对应的是一次项，所以是2r，而常数项就是原来的常数，这里是3。

接下来，解这个二次方程。用求根公式：r = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)，这里a=1，b=2，c=3。代入进去的话：

r = [-2 ± √(4 - 12)] / 2
√里面是4-12=-8，所以平方根变成虚数了，记作i√8，也就是2√2 i。

那这样，解就是：r = (-2 ± 2√2 i)/2。约分一下，分子分母都除以2，得 r = -1 ± √2 i。

这说明特征方程的根是复数，形式为α ± βi，其中α=-1，β=√2。根据微分方程的解法，这种情况下通解的形式应该是：y(x) = e^{α x} [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]，对吧？

所以代入进去的话，就是：

y(x) = e^{-x} [C1 cos(√2 x) + C2 sin(√2 x)]

嗯，这里我得确认一下步骤是否正确。特征方程的根是正确的吗？我们再算一遍：

r² + 2r +3=0，
判别式 D = (2)^2 -4*1*3 = 4 -12 = -8，
所以√D = √(-8) = 2i√2，
所以r=(-2 ± 2i√2)/2=-1±i√2，
对的，没有问题。

那通解的形式是否正确？对于复根α ± βi，确实对应的解是e^{α x} (C1 cos(βx)+ C2 sin(βx))。没问题。

有没有可能犯了什么错误呢？比如求特征方程的时候是不是哪里符号弄反了？让我再检查一下：

原微分方程是y'' + 2y' +3y=0，对应的是r² +2r+3=0，没错。

那根的计算也没问题。判别式算对了，√里面的结果也正确，得出的结果没问题。

所以，我觉得通解应该是正确的：y(x)=e^{-x}[C1 cos(√2 x)+ C2 sin(√2 x)]

或者也可以写成其他的形式，比如用欧拉公式表示为 e^{-x} [A e^{i√2 x} + B e^{-i√2 x}]，但一般来说，更习惯于将解写成实数形式的余弦和正弦函数。

综上所述，这个微分方程的通解就是上面那样。
</think>

为了求解二阶线性常系数齐次微分方程 \( y'' + 2y' + 3y = 0 \)，我们首先写出其特征方程：

\[ r^2 + 2r + 3 = 0 \]

使用求根公式得到：

\[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2} \]

由于特征方程的根是复数 \( -1 \pm i\sqrt{2} \)，对应的通解形式为：

\[ y(x) = e^{-x} \left( C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x) \right) \]

其中，\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

**答案：**

微分方程的通解为：

\[ y(x) = e^{-x} \left( C_1 \cos(\sqrt{2} x) + C_2 \sin(\sqrt{2} x) \right) \]