python：求解偏微分方程（PDEs）

1.偏微分方程基本知识
微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式，偏微分方程是包含未知函数的偏导数（偏微分）的微分方程。

偏微分方程可以描述各种自然和工程现象，是构建科学、工程学和其他领域的数学模型主要手段。科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，如：波传播，流动和扩散，振动，固体力学，电磁学和量子力学，等等。

偏微分方程主要有三类：椭圆方程，抛物方程和双曲方程。

双曲方程描述变量以一定速度沿某个方向传播，常用于描述振动与波动问题。

椭圆方程描述变量以一定深度沿所有方向传播，常用于描述静电场、引力场等稳态问题。

抛物方程描述变量沿下游传播，常用于描述热传导和扩散等瞬态问题。

偏微分方程的定解问题通常很难求出解析解，只能通过数值计算方法对偏微分方程的近似求解。常用偏微分方程数值解法有：有限差分方法、有限元方法、有限体方法、共轭梯度法，等等。

参阅：偏微分方程数值解法python代码实现

在Python中求解偏微分方程（PDEs），你可以使用多种库和工具，包括但不限于SymPy、SciPy、NumPy、以及专门用于求解PDEs的库如FEniCS、PyMOR、Shooting Method（通过SciPy的solve_ivp函数实现）、以及专门的偏微分方程求解器如FEniCS（针对复杂几何和网格生成）、PySINDy（用于数据驱动的偏微分方程建模）等。

下面我将介绍几种常见的方法和库，以及如何使用它们来求解偏微分方程。

1. 使用SciPy和NumPy

对于简单的偏微分方程，比如二维的热传导方程，你可以使用scipy.ndimage或者numpy的插值和梯度计算功能来近似求解。

示例：热传导方程

热传导方程（一维）：

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

其中，$k$ 是热扩散系数。

# -*- coding: utf-8 -*-
""" 热传导方程（一维）： """
""" $$ \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ """
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.ndimage import gaussian_laplace
 
# 参数设置
k = 0.1  # 热扩散系数
t = 0.5  # 时间
x = np.linspace(0, 1, 100)  # 空间范围
u0 = np.exp(-((x - 0.5) ** 2) / 0.02)  # 初始条件
 
# 使用高斯拉普拉斯算子模拟热扩散
u_t = gaussian_laplace(u0, sigma=np.sqrt(k * t), mode='constant', cval=0.0)
 
plt.plot(x, u0, label='Initial')
plt.plot(x, u_t, label='After t = {}'.format(t))
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

运行 python test_gaussian_laplace.py

2. 使用FEniCS（Finite Element Method）

FEniCS是一个开源的C++/Python库，专门用于解决偏微分方程。它使用有限元方法（FEM）。

示例：Laplace方程

# -*- coding: utf-8 -*-
""" FEniCS是一个开源库，专门用于解决偏微分方程 """
""" 它使用有限元方法（FEM） """
from fenics import *
 
# 创建网格和函数空间
mesh = UnitSquareMesh(32, 32)
V = FunctionSpace(mesh, 'P', 1)
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
f = Constant(1.0)  # 右端项
a = dot(grad(u), grad(v))*dx  # 双线性形式
L = f*v*dx       # 线性形式
u = Function(V)  # 定义解函数
solve(a == L, u)  # 解方程
 
# 绘制解
plot(u)
interactive()