对数的换底公式及其证明

一、换底公式

log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\quad(a>0,b>0,c>0,c\neq1)

二、证明

设 x=log_ab\quad(1),由于对数和指数之间可以相互转换,不难得到:a^x=b

将 a^x=b 等式两边分别取以c为底的对数,得到:

log_ca^x=log_cb\\ \Rightarrow x \cdot log_ca=log_cb \\ \Rightarrow x=\frac{log_cb}{log_ca} \quad(2)

联立(1)(2)式,得到: log_ab=\frac{log_cb}{log_ca},证毕。

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