高等数学学习笔记 ☞ 不定积分的积分法

1. 第一换元积分法

1. 基础概念：形如 $\int f[\phi (x)]{\phi }'(x)dx=\int f[\phi (x)]d\phi (x)\overset{\phi (x)=u}{\rightarrow}\int f(u)du$ 的过程，称为第一换元积分法。

2. 核心思想：通过对被积函数的观察(把被积函数的形式与积分表的积分公式进行比较)，把 $d$ 外部的部分项拿到 $d$ 的内部(求原函数)，

然后进行拼凑，把拼凑的部分看成一个整体，最后利用积分表里的积分公式求解不定积分。

3. 举例说明：

（1）求解 $\int 2xe^{x^{2}}dx$ 的不定积分：

$\int 2xe^{x^{2}}dx = \int e^{x^{2}}2xdx =\int e^{x^{2}}dx^{2}=e^{x^{2}}+C$

（2）求解 $\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx(a\neq 0)$ 的不定积分：

$\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{a^{2}}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}d\frac{x}{a}=\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a}+C$

（3）求解 $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx(a>0)$ 的不定积分：

$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}(1-(\frac{x}{a})^{2})}}dx=\int \frac{1}{a\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}dx=$ $\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}d\frac{x}{a}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

（4）求解 $\int \tan xdx$ 与 $\int \cot xdx$ 的不定积分：(三角函数的奇数次处理方法)

$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{1}{\cos x}d\cos x=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int \frac{1}{\sin x}d\sin x=\ln |\sin x|+C$

（5）求解 $\int \cos^{2}xdx$ 的不定积分：(三角函数的偶数次处理方法)

$\int \cos^{2}xdx=\int \frac{\cos 2x +1}{2}dx=\int (\frac{\cos 2x}{2}+\frac{1}{2})dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$

（6）求解 $\int \csc xdx$ 的不定积分：

$\int \csc xdx=\int \frac{1}{\sin x}dx=\int \frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}dx=\int \frac{1}{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}*\cos^{2}\frac{x}{2}}d\frac{x}{2}=$

$\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}}*\sec^{2} \frac{x}{2}d\frac{x}{2}=\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}}d\tan \frac{x}{2}=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$

又知： $\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\csc x-\cot x$

所以： $\int \csc xdx=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C = \ln |\csc x-\cot x|+C$

（7）求解 $\int \sec xdx$ 的不定积分：

$\int \sec xdx=\int \frac{1}{\cos x}dx=\int \frac{1}{\sin (x+\frac{\pi}{2})}d(x+\frac{\pi}{2})=\int \csc (x+\frac{\pi}{2})d(x+\frac{\pi}{2})$

又知： $\int \csc xdx= \ln |\csc x-\cot x|+C$

所以： $\int \csc (x+\frac{\pi}{2})d(x+\frac{\pi}{2})=\ln |\csc (x+\frac{\pi}{2})-\cot (x+\frac{\pi}{2})|+C$

即： $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

2. 第二换元积分法

1. 基本概念：形如 $\int f(u)du \overset{u=\phi (x)}{\rightarrow} =\int f[\phi (x)]d\phi (x) =\int f[\phi (x)]{\phi }'(x)dx$ 的过程，称为第二换元积分法。

说明：引入的 $u=\phi (x)$ ，必须是单调的(用到了它的反函数)、可导的(用到了它的导函数) 且 ${\phi}' (x)\neq 0$ (避免把原被积函数变为0)。

2. 核心思想：通过对被积函数的观察选择相应的替换函数(基本都有规律)，然后将 $d$ 的内部求导拿到 $d$ 的外部(求导函数)，从而将原被积

函数的积分转化为简单函数的积分，最终求解出不定积分。

3. 举例说明：

（1）求解 $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx(a>0)$ 的不定积分：

①：需要先确认被积函数的定义域： $x\in [-a,a]$ 。

②：进行替换，令 $x=a\sin t$ ，要保证替换函数 $u=\phi (x)$ 是单调、可导且 ${\phi}' (x)\neq 0$ 的，取 $t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ，则有

$x\in (-a,a)$ ，满足被积函数定义域要求。对 $x=a\sin t$ 求导，可得： $dx=a\cos tdt$ 。

$\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\int \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin ^{2}t}\; a\cos tdt=\int |a||cost|a\cos tdt$

因为 $a>0$ ，且当 $t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 时， $\cos t>0$ ，则：

$\int |a||cost|a\cos tdt=\int a^{2} \cos ^{2}tdt=a^{2}\int \frac{\cos 2t +1}{2}dt$ $=\frac{a^{2}}{4}\sin 2t+\frac{a^{2}}{2}t+C$

③：进行回代，根据 $x=a\sin t$ 可得： $t=\arcsin \frac{x}{a}$ ，同时绘制直角三角形，可获得其他三角函数关系式，则：

$\frac{a^{2}}{4}\sin 2t+\frac{a^{2}}{2}t+C=\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin \frac{x}{2}+C$

即： $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin \frac{x}{2}+C(a>0)$

小贴士：一般遇到根号下含有 $a^{2}-x^{2}$ 的式子，采用 $x=a\sin t$ 替换。

（2）求解 $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx(a>0)$ 的不定积分：

①：需要先确认被积函数的定义域： $x\in (-\infty ,+\infty )$ 。

②：进行替换，令 $x=a\tan t$ ，要保证替换函数 $u=\phi (x)$ 是单调、可导且 ${\phi}' (x)\neq 0$ 的，取 $t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ，则有

$x\in (-\infty ,+\infty )$ ，满足被积函数定义域要求。对 $x=a\tan t$ 求导，可得： $dx=a\sec ^{2}tdt$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}\tan^{2}t+a^{2}}}a\sec^{2}tdt=\int \frac{a\sec^{2}t}{|a||\sec t|}dt$

因为 $a>0$ ，且当 $t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 时， $\sec t>0$ ，则：

$\int \frac{a\sec^{2}t}{|a||\sec t|}dt=\int \sec tdt=\ln|\sec t+\tan t|+C$

③：进行回代，根据 $x=a\tan t$ 可得： $\tan t = \frac{x}{a}$ ，同时绘制直角三角形，可获得其他三角函数关系式，则：

$\ln|\sec t+\tan t|+C=\ln|\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x|-\ln a+C$

根据上述三角形关系可知： $\sqrt{a^{2}+x^{2}}>x$ ，又知： $-\ln a+C=C_{1}$ ，

所以： $\ln|\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x|-\ln a+C=\ln(\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x)+C_{1}$

即： $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx = \ln(\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x)+C_{1}(a>0)$

小贴士：一般遇到根号下含有 $x^{2}+a^{2}$ 的式子，采用 $x=a\tan t$ 替换。

（3）求解 $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx(a>0)$ 的不定积分：

①：需要先确认被积函数的定义域： $x\in (-\infty ,-a)\cup (a,+\infty )$ 。

②：进行替换，令 $x=a\sec t$ ，要保证替换函数 $u=\phi (x)$ 是单调、可导且 ${\phi}' (x)\neq 0$ 的，取 $t\in (0,\frac{\pi}{2})$ 及 $t\in (\frac{\pi}{2},\pi)$ ,

则有 $x\in (-\infty ,-a)\cup (a,+\infty )$ ，满足被积函数定义域要求。对 $x=a\sec t$ 求导，可得： $dx=a\sec t \tan tdt$ 。

对于分区间段的不定积分要分开求解。

当 $x>a$ 时，由 $\frac{x}{a}=\sec t>1$ 可知： $t\in (0,\frac{\pi}{2})$ ，则 $\tan t>0$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=\int \frac{a\tan t \sec t}{\sqrt{a^{2} \sec ^{2}t-a^{2}}}dt$ $=\int \frac{a\tan t \sec t}{|a||\tan t|}dt=\int \sec tdt=\ln |\sec t+ \tan t|+C$

当 $x<-a$ 时，由 $\frac{x}{a}=\sec t<-1$ 可知： $t\in (\frac{\pi}{2},\pi)$ ，则 $\tan t<0$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=\int \frac{a\tan t \sec t}{\sqrt{a^{2} \sec ^{2}t-a^{2}}}dt$ $=\int \frac{a\tan t \sec t}{|a||\tan t|}dt=-\int \sec tdt=-\ln |\sec t+ \tan t|+C$

③：进行回代，根据 $x=a\sec t$ 可得： $\sec t=\frac{x}{a}$ ，同时绘制直角三角形，可获得其他三角函数关系式，则：

当 $x>a$ 时：

$\ln |\sec t+ \tan t|+C=\ln |\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}|+C=\ln (\frac{x}{a}$ $+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a})+C=\ln (x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})+C_{1}$

当 $x<-a$ 时，

$-\ln |\sec t+ \tan t|+C=-\ln |\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}|+C=-\ln (-\frac{x}{a}$ $+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a})+C=\ln (-x-\sqrt{x^{2}-a^{2}})+C_{1}$

即：当 $x>a$ 时， $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=\ln (x+\sqrt{x^{2}-a^{2}})+C_{1}(a>0)$

当 $x<-a$ 时， $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=\ln (-x-\sqrt{x^{2}-a^{2}})+C_{1}(a>0)$

上述进行整合可得： $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=\ln |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C(a>0)$

小贴士：一般遇到根号下含有 $x^{2}-a^{2}$ 的式子，采用 $x=a\sec t$ 替换。

（4）求解 $\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x^{4}}(a\neq 0)$ 的不定积分：

①：需要先确认被积函数的定义域： $x\in [-a,0)\cup (0,a]$ 。

②：进行替换，令 $x=\frac{1}{t}$ ，要保证替换函数 $u=\phi (x)$ 是单调、可导且 ${\phi}' (x)\neq 0$ 的，取 $t\in [-a,0)$ 及 $t\in (0,a]$ ，

则有 $x\in [-a,0)\cup (0,a]$ ，满足被积函数定义域要求。对 $x=\frac{1}{t}$ 求导，可得： $dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$ 。

对于分区间段的不定积分要分开求解。

当 $x>0$ 时，由 $x=\frac{1}{t}$ 可知： $t>0$ 。

$\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x^{4}}=-\int t\sqrt{a^{2}t^{2}-1}dt=-\frac{1}{3a^{2}}(a^{2}t^{2}-1)^{\frac{3}{2}}+C$

当 $x<0$ 时，由 $x=\frac{1}{t}$ 可知： $t<0$ 。

$\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x^{4}}=\int t\sqrt{a^{2}t^{2}-1}dt=\frac{1}{3a^{2}}(a^{2}t^{2}-1)^{\frac{3}{2}}+C$

③：进行回代：

当 $x>0$ 时， $\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x^{4}}=-\frac{1}{3a^{2}}(a^{2}t^{2}-1)^{\frac{3}{2}}+C=-\frac{(a^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}{3a^{2}x^{3}}+C$

当 $x<0$ 时， $\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x^{4}}=\frac{1}{3a^{2}}(a^{2}t^{2}-1)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{(a^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}}{3a^{2}(x^{2})^{\frac{3}{2}}}+C$

备注：最后一步需要注意，开偶数次根号下的内容时不要忘记正负的问题。

（5）求解 $\int e^{\sqrt{x}}dx$ 的不定积分：

①：需要先确认被积函数的定义域： $x\in [0,+\infty ]$ 。

②：进行替换，令 $\sqrt{x}=t$ ，即 $x=t^{2}$ ，要保证替换函数 $u=\phi (x)$ 是单调、可导且 ${\phi}' (x)\neq 0$ 的，取 $t\in [0,+\infty ]$ ，

则有 $x\in [0,+\infty ]$ ，满足被积函数定义域要求。对 $x=t^{2}$ 求导，可得： $dx=2tdt$ 。

$\int e^{\sqrt{x}}dx=\int e^{t}2tdt=2te^{t}-2\int e^{t}dt=2te^{t}-2e^{t}+C$

③：进行回代： $\int e^{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-2e^{\sqrt{x}}+C$

3. 分部积分法

1. 基本概念：形如 $\int udv=u\cdot v-\int vdu$ 的过程，称为分部积分法。

2. 举例说明：

（1）求解 $\int x^{2}e^{x}dx$ 的不定积分：

$\int x^{2}e^{x}dx=\int x^{2}de^{x}=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$

   $=x^{2}e^{x}-2\int xde^{x}$

   $=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-e^{x})+C$

   $=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C$

小贴士：被积函数为多项式乘以三角函数或指数函数，此类型一般把三角函数或指数函数作为 $v$ 。

（2）求解 $\int x \arctan xdx$ 的不定积分：

$\int x \arctan xdx=\frac{1}{2}\int \arctan xdx^{2}=\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}dx$

$=\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int (1-\frac{1}{1+x^{2}})dx$

$=\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\arctan x+C$

$=\frac{1}{2}(x^{2}+1)\arctan x-\frac{1}{2}x+C$

小贴士：被积函数为多项式乘以反三角函数或对数函数，此类型一般把多项式作为 $v$ 。

（3）求解 $\int e^{x}\sin xdx$ 的不定积分：

$\int e^{x}\sin xdx=\int \sin xde^{x}=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos xdx$

$=e^{x}\sin x-\int \cos xde^{x}$

$=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int e^{x}\sin x dx$

此时，等号左侧所求的式子在等号右侧重复出现了，那么进行移项处理。

整理可得： $\int e^{x}\sin xdx=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x -\cos x)+C$