343 整数拆分

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58

分析

这个问题可以通过动态规划来解决。我们可以定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示整数 i 拆分后的最大乘积。对于每一个 i，我们尝试将它拆分成 j 和 i-j 两部分，并考虑以下两种情况：

不再对 i-j 进行拆分，此时乘积为 j * (i - j)。
继续对 i-j 进行拆分，此时乘积为 j * dp[i - j]。
取这两种情况中的最大值更新 dp[i]。为了保证至少拆分为两个正整数，我们需要遍历从 1 到 i-1 的所有 j 值。

def integerBreak(n: int) -> int:
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(1, i):
            dp[i] = max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j])
    return dp[n]

# 示例调用
print(integerBreak(10))  # 输出应为36

这段代码首先初始化了一个大小为 n+1 的数组 dp，然后通过双重循环计算每个整数 i 的最大乘积并存储在 dp[i] 中。最后返回 dp[n] 作为答案。

这个方法的时间复杂度是 ，空间复杂度是
，适用于题目中给定的 n 的范围。