Laplace-Beltrami 拉普拉斯-贝尔特拉米算子

Laplace-Beltrami算子是定义在黎曼流形上的一个二阶微分算子，它在微分几何和偏微分方程中都有重要的应用。在计算机图形学和几何处理中，Laplace-Beltrami算子通常用于网格处理，特别是在网格平滑、网格变形和特征提取等方面。

在离散的网格模型中，Laplace-Beltrami算子可以通过拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）来近似。拉普拉斯矩阵是一个稀疏矩阵，它的每一行对应一个顶点，每一列对应一个顶点的邻接顶点。拉普拉斯矩阵的元素通常是通过计算顶点的邻接边的cotangent权重得到的。

示例：

计算平均曲率

#include <igl/cotmatrix.h>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/Sparse>
#include <iostream>
int main()
{
  Eigen::MatrixXd V(4,2);
  V<<0,0,
     1,0,
     1,1,
     0,1;
  Eigen::MatrixXi F(2,3);
  F<<0,1,2,
     0,2,3;
     
  // Laplace-Beltrami of position
  	MatrixXd HN;
	SparseMatrix<double> L,M,Minv;
	igl::cotmatrix(V,F,L);
	// 面积作为权重
	igl::massmatrix(V,F,igl::MASSMATRIX_TYPE_VORONOI,M);
	igl::invert_diag(M,Minv);
	HN = -Minv*(L*V);
	// 平均曲率
	H = HN.rowwise().norm(); 
  return 0;
}

$$L=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0.5& 0& 0.5\\ 0.5& -1& 0.5& 0\\ 0& 0.5& -1& 0.5\\ 0.5& 0& 0.5& -1\end{array}\right]$$

使用libigl计算：

在计算机图形学和几何处理中，平均曲率（mean curvature）是描述曲面弯曲程度的一个重要量。对于离散的网格模型，我们通常使用离散的方法来计算平均曲率。HN = -Minv * (L * V) 这个表达式实际上是在计算离散平均曲率的一种方法，其中涉及到拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）和一个逆矩阵（Minv）。

下面是这个表达式的详细解释：

• L 是拉普拉斯矩阵，它描述了网格的局部几何结构。对于每个顶点，拉普拉斯矩阵的行对应于该顶点的邻接顶点，并且元素通常是通过计算邻接边的cotangent权重得到的。拉普拉斯矩阵的作用是将顶点的位置平滑化，即每个顶点被移动到其邻接顶点的平均位置。

• V 是顶点的位置向量，每一行对应一个顶点的坐标。

• L * V 计算了拉普拉斯矩阵对顶点位置的作用，这实际上是对每个顶点进行了一次拉普拉斯平滑操作。

• Minv 是一个逆矩阵，它通常是一个对角矩阵，其对角线上的元素是每个顶点的权重。这些权重可以是顶点的度（valence）、面积、体积等，具体取决于应用场景。逆矩阵的作用是对拉普拉斯平滑后的顶点位置进行调整，以得到最终的平均曲率。

这个表达式的原理是基于这样一个事实：在连续的情况下，平均曲率可以通过曲面的第二基本形式和第一基本形式来计算。在离散的情况下，我们使用拉普拉斯矩阵来近似第二基本形式，使用逆矩阵来调整顶点的权重，从而得到离散的平均曲率。

这种方法的优点是计算简单，并且可以很容易地集成到现有的网格处理算法中。然而，它也有一些缺点，例如对噪声敏感，可能需要额外的正则化步骤来处理。