Laplace-Beltrami 拉普拉斯-贝尔特拉米算子

Laplace-Beltrami 拉普拉斯-贝尔特拉米算子

Laplace-Beltrami算子是定义在黎曼流形上的一个二阶微分算子,它在微分几何和偏微分方程中都有重要的应用。在计算机图形学和几何处理中,Laplace-Beltrami算子通常用于网格处理,特别是在网格平滑、网格变形和特征提取等方面。

在离散的网格模型中,Laplace-Beltrami算子可以通过拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix)来近似。拉普拉斯矩阵是一个稀疏矩阵,它的每一行对应一个顶点,每一列对应一个顶点的邻接顶点。拉普拉斯矩阵的元素通常是通过计算顶点的邻接边的cotangent权重得到的。

拉普拉斯-贝尔特拉米定理

示例:

计算平均曲率

#include <igl/cotmatrix.h>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/Sparse>
#include <iostream>
int main()
{
  Eigen::MatrixXd V(4,2);
  V<<0,0,
     1,0,
     1,1,
     0,1;
  Eigen::MatrixXi F(2,3);
  F<<0,1,2,
     0,2,3;
     
  // Laplace-Beltrami of position
  	MatrixXd HN;
	SparseMatrix<double> L,M,Minv;
	igl::cotmatrix(V,F,L);
	// 面积作为权重
	igl::massmatrix(V,F,igl::MASSMATRIX_TYPE_VORONOI,M);
	igl::invert_diag(M,Minv);
	HN = -Minv*(L*V);
	// 平均曲率
	H = HN.rowwise().norm(); 
  return 0;
}

示例

2D Mesh
L = [ − 1 0.5 0 0.5 0.5 − 1 0.5 0 0 0.5 − 1 0.5 0.5 0 0.5 − 1 ] L=\begin{bmatrix} -1 & 0.5 & 0 & 0.5\\ 0.5& -1& 0.5 & 0\\ 0 & 0.5& -1& 0.5\\ 0.5& 0& 0.5& -1\end{bmatrix} L= 10.500.50.510.5000.510.50.500.51

使用libigl计算:
公式变形

在计算机图形学和几何处理中,平均曲率(mean curvature)是描述曲面弯曲程度的一个重要量。对于离散的网格模型,我们通常使用离散的方法来计算平均曲率。HN = -Minv * (L * V) 这个表达式实际上是在计算离散平均曲率的一种方法,其中涉及到拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix)和一个逆矩阵(Minv)。

下面是这个表达式的详细解释:

  • L 是拉普拉斯矩阵,它描述了网格的局部几何结构。对于每个顶点,拉普拉斯矩阵的行对应于该顶点的邻接顶点,并且元素通常是通过计算邻接边的cotangent权重得到的。拉普拉斯矩阵的作用是将顶点的位置平滑化,即每个顶点被移动到其邻接顶点的平均位置。

  • V 是顶点的位置向量,每一行对应一个顶点的坐标。

  • L * V 计算了拉普拉斯矩阵对顶点位置的作用,这实际上是对每个顶点进行了一次拉普拉斯平滑操作。

  • Minv 是一个逆矩阵,它通常是一个对角矩阵,其对角线上的元素是每个顶点的权重。这些权重可以是顶点的度(valence)、面积、体积等,具体取决于应用场景。逆矩阵的作用是对拉普拉斯平滑后的顶点位置进行调整,以得到最终的平均曲率。

这个表达式的原理是基于这样一个事实:在连续的情况下,平均曲率可以通过曲面的第二基本形式和第一基本形式来计算。在离散的情况下,我们使用拉普拉斯矩阵来近似第二基本形式,使用逆矩阵来调整顶点的权重,从而得到离散的平均曲率。

这种方法的优点是计算简单,并且可以很容易地集成到现有的网格处理算法中。然而,它也有一些缺点,例如对噪声敏感,可能需要额外的正则化步骤来处理。

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