文章目录
- II. SYSTEM MODEL
- C. Active RIS Model
- III. PROBLEM FORMULATION
- A. Radar Performance Metric
- C. Optimize Φ
- V. PERFORMANCE ANALYSIS OF THE RADAR SINR IN ACTIVE RIS-AIDED SENSING SYSTEMS
- A. Simplified System Setting
- B. Power Scaling Law Analysis
- C. Active RIS and Passive RIS Comparison
- D. Power Allocation Among BS and Active RIS
- E. Deployment of the Active RIS
- G. Beampattern of the Proposed Scheme
- VII. PRACTICAL ISSUES AND OPEN PROBLEMS
- A. Active RIS Architectures and Wideband Scenarios
- B. Advanced Signal Processing Techniques
II. SYSTEM MODEL
假设目标的空间范围相对较小，入射信号仅被点目标反射。因此，RIS与目标之间的目标响应矩阵可以表示为：
A = β r a 3 ( θ 3 ) a 3 H ( θ 3 ) ∈ C N × N \mathbf{A} = \beta_r \mathbf{a}_3(\theta_3) \mathbf{a}_3^H(\theta_3) \in \mathbb{C}^{N \times N} A=βra3(θ3)a3H(θ3)∈CN×N
其中， θ 3 \theta_3 θ3 是相对于主动RIS的到达角 (DoA)，方向向量 a 3 ( θ 3 ) \mathbf{a}_3(\theta_3) a3(θ3) 的定义与公式(5)中的类似。为了评估 RIS-target-RIS 信道的乘性衰落，……
雷达距离公式用于模拟复数系数 β ~ r \tilde\beta_r β~r 的幅度。如果目标被视为单一散射体，并且忽略各种附加损耗和增益因子，为简化计算，雷达处的接收功率 P r P_r Pr 可以通过以下公式计算：
P r = P t G 2 λ 2 S ( 4 π ) 3 R 4 , \begin{equation*} P_{r}=\frac {P_{t} G^{2} \lambda ^{2} S}{(4 \pi)^{3} R^{4}}, \tag{6}\end{equation*} Pr=(4π)3R4PtG2λ2S,(6)
其中：
- P t P_t Pt 和 G G G 分别表示雷达的发射功率和天线增益；
- S S S 表示目标的雷达截面积 (RCS, Radar Cross Section)；
- R R R 表示雷达与目标之间的距离。
由于主动RIS可以被视为单基地多输入多输出 (MIMO) 雷达，RIS-目标-RIS链路的路径损耗 β r \beta_r βr 可以被建模为：
β r = ∣ β ~ r ∣ = λ 2 S ( 4 π ) 3 R 4 . (7) \beta_r = |\tilde{\beta}_r| = \sqrt{\frac{\lambda^2 S}{(4\pi)^3 R^4}}. \tag{7} βr=∣β~r∣=(4π)3R4λ2S.(7)
C. Active RIS Model
与仅由大量无源单元组成的无源RIS不同，有源RIS在每个单元上配备了具有有源反射功能的放大器。因此，有源RIS可以进一步放大反射信号，从而在感知和通信任务中表现出更强的性能。有源RIS的反射系数矩阵表示为：
Φ = Diag { v 1 , ⋯ , v n , ⋯ , v N } , \mathbf{\Phi} = \text{Diag}\{v_1, \cdots, v_n, \cdots, v_N\}, Φ=Diag{v1,⋯,vn,⋯,vN},
其中功率放大增益 ∣ v n ∣ 2 , n = 1 , 2 , ⋯ , N |v_n|^2, n = 1, 2, \cdots, N ∣vn∣2,n=1,2,⋯,N 应小于最大功率放大增益 a RIS a_{\text{RIS}} aRIS。然而，由于采用了有源组件，有源RIS的热噪声和功耗与无源RIS相比不可忽略。在所考虑的场景中，RIS首先将基站(BS)发射的信号反射到通信用户和目标处。然后，目标反射的回波信号通过RIS反射回基站。忽略静态噪声，static noise（如文献[29]所述），第一次和第二次反射信号分别可表示为：
y 1 r = Φ G x + Φ v 1 , y 2 r = Φ H A Φ G x + Φ H A Φ v 1 + Φ H v 2 . \begin{align*} {\mathbf {y}}_{1}^{\mathrm{r}}&={\mathbf {\Phi Gx}}+{\mathbf {\Phi v_{1}}}, \tag{8}\\ {\mathbf {y}}_{2}^{\mathrm{r}}&={\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A\Phi Gx}}+{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A\Phi v}}_{1}+{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {v}} _{2}. \tag{9}\end{align*} y1ry2r=ΦGx+Φv1,=ΦHAΦGx+ΦHAΦv1+ΦHv2.(8)(9)
其中，向量 v 1 \mathbf{v}_1 v1 和 v 2 \mathbf{v}_2 v2 表示有源RIS处的加性白高斯噪声 (AWGN)，其服从分布 C N ( 0 , σ 2 I N ) \mathcal{CN}(0, \sigma^2 \mathbf{I}_N) CN(0,σ2IN)，噪声功率为 σ 2 \sigma^2 σ2。设 P RIS P_{\text{RIS}} PRIS 为RIS的最大发射功率，则有源RIS的发射功率约束为：
E [ ∥ y 1 r ∥ 2 2 + ∥ y 2 r ∥ 2 2 ] ≤ P R I S . \begin{equation*} \mathbb {E}\left [{{\left \|{{\mathbf {y}}_{1}^{\mathrm{r}}}\right \|}^{2}_{2}+\left \|{{\mathbf {y}}_{2}^{\mathrm{r}}}\right \|^{2}_{2}}\right] \le P_{\mathrm{RIS}}. \tag{10}\end{equation*} E[∥y1r∥22+∥y2r∥22]≤PRIS.(10)
By substituting (8) and (9) into (10), we have
T
r
(
Φ
H
A
Φ
G
R
G
H
Φ
H
A
H
Φ
)
+
σ
2
T
r
(
Φ
H
A
Φ
Φ
H
A
H
Φ
)
+
T
r
(
Φ
G
R
G
H
Φ
H
)
+
2
σ
2
T
r
(
Φ
Φ
H
)
≤
P
R
I
S
.
\begin{align*} {\mathrm {Tr}}&(\mathbf {\Phi ^{\mathrm{H}} A \Phi G R G^{\mathrm{H}} \Phi ^{\mathrm{H}} A^{\mathrm{H}} \Phi })+\sigma ^{2}{\mathrm {Tr}}(\mathbf {\Phi ^{\mathrm{H}} A \Phi \Phi ^{\mathrm{H}} A^{\mathrm{H}} \Phi }) \\ &\quad +{\mathrm {Tr}}(\mathbf {\Phi G R G^{\mathrm{H}} \Phi ^{\mathrm{H}}})+2\sigma ^{2}{\mathrm {Tr}}(\mathbf {\Phi \Phi ^{\mathrm{H}}})\le P_{\mathrm{RIS}}. \tag{11}\end{align*}
Tr(ΦHAΦGRGHΦHAHΦ)+σ2Tr(ΦHAΦΦHAHΦ)+Tr(ΦGRGHΦH)+2σ2Tr(ΦΦH)≤PRIS.(11)
III. PROBLEM FORMULATION
A. Radar Performance Metric
在感知任务中，双功能无线通信与雷达（DFRC）基站接收到的回波信号包括来自有源RIS和DFRC基站的热噪声，以及通过以下链路传输的信号：
- 基站-RIS-基站（BS-RIS-BS）链路；
- 基站-RIS-目标-RIS-基站（BS-RIS-target-RIS-BS）链路。
由于来自BS-RIS-BS链路的回波信号不包含任何与目标相关的信息，因此它可以被视为目标感知中的干扰。基于此，DFRC基站接收到的雷达信号可以表示为：
y
~
r
=
G
H
(
y
1
r
+
y
2
r
)
+
z
r
=
G
H
Φ
H
A
Φ
G
x
+
G
H
Φ
H
A
Φ
v
1
+
G
H
Φ
v
1
+
G
H
Φ
H
v
2
+
G
H
Φ
G
x
⏟
Interference echo
+
z
r
,
\begin{align*} \tilde {{\mathbf {y}}}_{\mathrm{r}}&={\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}({\mathbf {y}}_{1}^{\mathrm{r}}+{\mathbf {y}}_{2}^{\mathrm{r}})+{\mathbf {z}}_{\mathrm{r}} \\[4pt] &={\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A}}{\boldsymbol{\Phi }} {\mathbf {G}}{\mathbf {x}}+{\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A}}{\boldsymbol{\Phi }} {\mathbf {v}}_{1} + {\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }}{\mathbf {v}}_{1} \\[4pt] &\quad +{\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {v}}_{2}+\underbrace {{ \mathbf {G}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\Phi }\mathbf { G} {\mathbf {x}}}_{\textrm {Interference echo}}+{\mathbf {z}}_{\mathrm{r}}, \tag{12}\end{align*}
y~r=GH(y1r+y2r)+zr=GHΦHAΦGx+GHΦHAΦv1+GHΦv1+GHΦHv2+Interference echo
GHΦGx+zr,(12)
其中， z r \mathbf{z}_r zr 表示DFRC基站处的加性白高斯噪声（AWGN），其服从分布 C N ( 0 , σ r 2 I M ) \mathcal{CN}(0, \sigma_r^2 \mathbf{I}_M) CN(0,σr2IM)，噪声功率为 σ r 2 \sigma_r^2 σr2。由于干扰项 G H Φ G x \mathbf{G}^H \mathbf{\Phi} \mathbf{Gx} GHΦGx 在DFRC基站处是已知的，在采用有效的自干扰（self-interference，SI）消除技术后，接收到的雷达信号可表示为：
y r = G H Φ H A Φ G x + G H Φ H A Φ v 1 + G H Φ v 1 + G H Φ H v 2 + η G H Φ G x + z r , \begin{align*} {{\mathbf {y}}_{\mathrm{r}}} &={\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A}}{\boldsymbol{\Phi }} {\mathbf {G}}{\mathbf {x}}+{\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A}}{\boldsymbol{\Phi }} {\mathbf {v}}_{1} + {\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }}{\mathbf {v}}_{1} \\[4pt] &\quad +{\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {v}}_{2}+{{\eta \mathbf {G}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\Phi }\mathbf { G} {\mathbf {x}}}+{\mathbf {z}}_{\mathrm{r}}, \tag{13}\end{align*} yr=GHΦHAΦGx+GHΦHAΦv1+GHΦv1+GHΦHv2+ηGHΦGx+zr,(13)
其中， η \eta η 表示经过消除后的自干扰 (SI) 系数。定义如下 B ≜ G H Φ H A Φ G ∈ C M × M \mathbf{B} \triangleq \mathbf{G}^\mathrm{H} \boldsymbol\Phi^\mathrm{H} \mathbf{A} \boldsymbol\Phi \mathbf{G} \in \mathbb{C}^{M \times M} B≜GHΦHAΦG∈CM×M， C ≜ G H Φ H A Φ ∈ C M × N \mathbf{C} \triangleq \mathbf{G}^\mathrm{H}\boldsymbol \Phi^\mathrm{H} \mathbf{A} \boldsymbol\Phi \in \mathbb{C}^{M \times N} C≜GHΦHAΦ∈CM×N，雷达的 SINR 可表示为[18] [38]。
SINR 是雷达感知的重要性能指标，密切关联于两种假设下观测密度之间的 pairwise Kullback-Leibler (KL) divergences。鉴于热噪声和来自主动 RIS 的干扰可能导致感知性能的退化，我们将雷达 SINR 用作性能指标。此外，在仿真部分还评估了波束图，以进一步分析雷达感知性能。
S
I
N
R
=
T
r
(
B
R
B
H
J
−
1
)
.
\begin{equation*} {\mathrm{ SINR}}={\mathrm {Tr}}(\mathbf {BRB}^{\mathrm{H}}\mathbf {J} ^{-1}). \tag{14}\end{equation*}
SINR=Tr(BRBHJ−1).(14)
干扰加噪声协方差矩阵
J
\mathbf{J}
J 表示为：
J
=
D
+
E
R
E
H
,
\begin{equation*} \mathbf {J}=\mathbf {D}+\mathbf {ERE}^{\mathrm{H}}, \tag{15}\end{equation*}
J=D+EREH,(15)
其中
D
≜
σ
2
(
G
H
Φ
Φ
H
A
Φ
G
+
G
H
Φ
H
A
Φ
Φ
H
G
)
+
σ
2
C
C
H
+
2
σ
2
G
H
Φ
H
Φ
G
+
σ
r
2
I
M
\mathbf {D}\triangleq \sigma ^{2}({\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A}}{\mathbf {\Phi G}} +\mathbf {G}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A \Phi }}{\boldsymbol{\Phi }}^{\mathrm{H}}\mathbf {G })+ \sigma ^{2}\mathbf {CC} ^{\mathrm{H}} +2\sigma ^{2}\mathbf {G} ^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\Phi }^{\mathrm{H}}\mathbf {\Phi G} +\sigma _{\mathrm{r}}^{2}\mathbf {I} _{M}
D≜σ2(GHΦΦHAΦG+GHΦHAΦΦHG)+σ2CCH+2σ2GHΦHΦG+σr2IM 是等效的噪声方差矩阵，
E
=
η
G
H
Φ
G
\mathbf {E}=\eta \mathbf {G} ^{\mathrm{H}} \mathbf {\Phi G}
E=ηGHΦG 是回波噪声。
这里的推导并不复杂，就是简单套用[18]中的矩阵，注意 σ 2 ( G H Φ Φ H A Φ G + G H Φ H A Φ Φ H G ) \sigma ^{2}({\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A}}{\mathbf {\Phi G}} +\mathbf {G}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A \Phi }}{\boldsymbol{\Phi }}^{\mathrm{H}}\mathbf {G }) σ2(GHΦΦHAΦG+GHΦHAΦΦHG) 代表的是 G H Φ H A Φ v 1 {\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A}}{\boldsymbol{\Phi }} {\mathbf {v}}_{1} GHΦHAΦv1 和 G H Φ v 1 {\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }}{\mathbf {v}}_{1} GHΦv1 之间的协方差。后面的三项分别是噪声各自的方差矩阵。
C. Optimize Φ
在本小节中，当波束成形矩阵 W \mathbf{W} W 固定时，我们优化反射系数矩阵 Φ \mathbf{\Phi} Φ。观察到，无论是主动 RIS 的发射功率（公式 ( 18 d ) (18d) (18d)），还是雷达 SINR（公式 ( 18 a ) (18a) (18a)），均包含反射系数 Φ \mathbf{\Phi} Φ 的四次函数。通常，解决此类优化问题可能相当具有挑战性。
为了解决这个问题，我们将四次函数重新构造为 SOS 形式。随后，我们采用 SDR 算法将这个高阶优化问题转换为一个二次的优化问题。令 v = [ v 1 , … , v N ] T \mathbf{v} = [v_1, \dots, v_N]^T v=[v1,…,vN]T表示 Φ \mathbf{\Phi} Φ 的对角元素的集合。通过引入一个辅助变量 t t t，使得 t 2 = 1 t^2 = 1 t2=1，我们创建了一个向量 v ˉ = [ v H , t H ] H \mathbf{\bar{v}} = [\mathbf{v}^H, t^H]^H vˉ=[vH,tH]H，并定义其对应的协方差矩阵为： V ‾ = v ˉ v ˉ H \overline {\mathbf {V}} = \mathbf{\bar{v}}\mathbf{\bar{v}}^H V=vˉvˉH。
Φ A Φ H = A ⊙ v v H = A ⊙ [ V ‾ ] 1 : N , 1 : N . \begin{equation*} \mathbf {\Phi A \Phi }^{\mathrm{H}}=\mathbf {A} \odot \mathbf {vv}^{\mathrm{H}} =\mathbf {A} \odot [\overline {\mathbf {V}}]_{1: N, 1: N}. \tag{33}\end{equation*} ΦAΦH=A⊙vvH=A⊙[V]1:N,1:N.(33)
v e c ( Φ H A H Φ ) = v e c ( A H ⊙ [ V ‾ ] 1 : N , 1 : N ) = v e c ( A H ) ⊙ v e c ( [ V ‾ ] 1 : N , 1 : N ) = D i a g ( v e c ( A H ) ) v e c ( [ V ‾ ] 1 : N , 1 : N ) . \begin{align*} \mathrm {vec}(\mathbf {\Phi ^{\mathrm{H}} A^{\mathrm{H}} \Phi })&=\mathrm {vec}(\mathbf {A}^{\mathrm {H}} \odot [\overline {\mathbf {V}}]_{1: N, 1: N}) \\[4pt] &=\mathrm {vec}(\mathbf {A}^{\mathrm {H}}) \odot \mathrm {vec}([\overline {\mathbf {V}}]_{1: N, 1: N}) \\[4pt] &=\mathrm {Diag}(\mathrm {vec}(\mathbf {A}^{\mathrm {H}}))\mathrm {vec}([\overline {\mathbf {V}}]_{1: N, 1: N}). \tag{34}\end{align*} vec(ΦHAHΦ)=vec(AH⊙[V]1:N,1:N)=vec(AH)⊙vec([V]1:N,1:N)=Diag(vec(AH))vec([V]1:N,1:N).(34)
接下来，我们将公式 ( 18 ) (18) (18) 中的目标函数和约束转换为 V ‾ \overline {\mathbf {V}} V 的线性和二次形式，然后通过 SDR 算法求解该问题。
V. PERFORMANCE ANALYSIS OF THE RADAR SINR IN ACTIVE RIS-AIDED SENSING SYSTEMS
在前面的章节中，我们专注于通过算法的开发来配置 W \mathbf W W 和 Φ \mathbf \Phi Φ。现在，我们将注意力转向研究几个关键因素对雷达 SINR 的影响。具体来说，我们研究了以下因素如何影响雷达 SINR：
- 有源 RIS 中反射单元的数量，
- DFRC 基站与有源 RIS 之间的传输功率分配，
- 有源 RIS 的部署位置。
A. Simplified System Setting
我们考虑了一个单天线雷达，其辅助设备是一个配备了 N N N 个反射单元的有源 RIS（Reconfigurable Intelligent Surface），且该 RIS 仅用于执行感知功能。雷达的发射功率记为 P t P_t Pt。我们使用视距 (LoS) 信道来表征单天线雷达和有源 RIS 之间的信道，即： g = g a 2 ( θ 2 ) \mathbf {g}=g {\mathbf {a}}_{2}(\theta _{2}) g=ga2(θ2)，其中 g g g 是与距离相关的路径损耗因子。
与之前提到的模型中每个反射单元具有独立的幅度不同，我们假设有源 RIS 配备了一个共享放大器。因此，反射系数矩阵 Φ \boldsymbol{\Phi } Φ 表示为： Φ = ϱ Ψ \boldsymbol{\Phi }=\varrho \boldsymbol{\Psi } Φ=ϱΨ，其中 Ψ = D i a g ( [ ψ 1 , ⋯ , ψ n , ⋯ , ψ N ] ) \boldsymbol{\Psi }= \mathrm{Diag}([\psi_1, \cdots, \psi_n, \cdots, \psi_N]) Ψ=Diag([ψ1,⋯,ψn,⋯,ψN])，并满足以下条件： ∣ ψ i ∣ = 1 , 对于 i = 1 , ⋯ , N |\psi_i| = 1, \quad \text{对于 } i = 1, \cdots, N ∣ψi∣=1,对于 i=1,⋯,N。同时，功率放大增益 ρ 2 \rho^2 ρ2 不得超过 a R I S = 40 d B a_{\mathrm{RIS}} = 40\,\mathrm{dB} aRIS=40dB。
我们假设雷达位于坐标 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)，有源 RIS 位于坐标 ( x , d ) (x, d) (x,d)，感知目标位于坐标 ( D , 0 ) (D, 0) (D,0)。在实际场景中，我们假定 DFRC 基站（Dual-Functional Radar Communication Base Station） 与有源 RIS 之间的距离不太大，即 g 2 ≤ − 70 d B g^2 \leq -70\,\mathrm{dB} g2≤−70dB，且 RIS-目标-RIS 链路 的往返路径损耗不小于 β 2 ≤ − 120 d B \beta^2 \leq -120\,\mathrm{dB} β2≤−120dB。我们还假设有源 RIS 和 DFRC 基站的噪声功率相同， σ r 2 = σ 2 = − 100 d B m \sigma_r^2 = \sigma^2 = -100\,\mathrm{dBm} σr2=σ2=−100dBm。
在简化的系统设置下，公式 (14) 中的雷达 SINR 简化为
S
I
N
R
=
P
t
ϱ
4
∣
g
H
Ψ
H
A
Ψ
g
∣
2
σ
r
2
+
ϱ
4
σ
2
∥
g
H
Ψ
H
A
Ψ
∥
2
2
+
2
ϱ
2
σ
2
∥
g
H
Ψ
∥
2
2
+
g
1
=
P
t
ϱ
4
f
4
σ
r
2
+
ϱ
4
σ
2
∥
f
β
r
a
3
H
(
θ
3
)
Ψ
∥
2
2
+
2
ϱ
2
σ
2
∥
g
H
Ψ
∥
2
2
+
g
1
=
P
t
ϱ
4
f
4
σ
r
2
+
ϱ
4
σ
2
f
2
∥
β
r
a
3
H
(
θ
3
)
∥
2
2
+
2
ϱ
2
σ
2
∥
g
H
∥
2
2
+
g
1
=
P
t
ϱ
4
f
4
σ
r
2
+
ϱ
4
σ
2
f
2
N
β
r
+
2
ϱ
2
σ
2
N
g
2
+
g
1
,
\begin{align*} {\mathrm{ SINR}}&=\frac {P_{t} \varrho ^{4} |{\mathbf {g}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Psi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A\Psi g }}|^{2}}{\sigma ^{2}_{\mathrm{r}}+\varrho ^{4}\sigma ^{2}\|{\mathbf {g}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Psi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A\Psi }}\|^{2}_{2}+2\varrho ^{2}\sigma ^{2}\|{\mathbf {g}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Psi }}\|^{2}_{2}+g_{1}} \\[4pt] &=\frac {P_{t} \varrho ^{4} f^{4}}{\sigma ^{2}_{\mathrm{r}}+\varrho ^{4}\sigma ^{2}\|{f\sqrt {\beta _{\mathrm {r}}}\mathbf {a}_{3}^{\mathrm{H}}(\theta _{3})\boldsymbol{\Psi }}\|^{2}_{2}+2\varrho ^{2}\sigma ^{2}\|{\mathbf {g}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Psi }}\|^{2}_{2}+g_{1}} \\[4pt] &=\frac {P_{t} \varrho ^{4} f^{4}}{\sigma ^{2}_{\mathrm{r}}+\varrho ^{4}\sigma ^{2} f^{2}\|\sqrt {\beta _{\mathrm {r}}}{\mathbf {a}_{3}^{\mathrm{H}}(\theta _{3})\|^{2}_{2}+2\varrho ^{2}\sigma ^{2}\|{\mathbf {g}}^{\mathrm{H}}\|^{2}_{2}+g_{1}}} \\[4pt] &=\frac {P_{t} \varrho ^{4} f^{4}}{\sigma ^{2}_{\mathrm{r}}+\varrho ^{4}\sigma ^{2} f^{2} N \beta _{\mathrm {r}}+2\varrho ^{2}\sigma ^{2} N g^{2}+g_{1}}, \tag{55}\end{align*}
SINR=σr2+ϱ4σ2∥gHΨHAΨ∥22+2ϱ2σ2∥gHΨ∥22+g1Ptϱ4∣gHΨHAΨg∣2=σr2+ϱ4σ2∥fβra3H(θ3)Ψ∥22+2ϱ2σ2∥gHΨ∥22+g1Ptϱ4f4=σr2+ϱ4σ2f2∥βra3H(θ3)∥22+2ϱ2σ2∥gH∥22+g1Ptϱ4f4=σr2+ϱ4σ2f2Nβr+2ϱ2σ2Ng2+g1Ptϱ4f4,(55)
未了帮助理解，我来解释一下每一项的含义。 σ 2 ( G H Φ Φ H A Φ G + G H Φ H A Φ Φ H G ) \sigma ^{2}({\mathbf {G}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A}}{\mathbf {\Phi G}} +\mathbf {G}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Phi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A \Phi }}{\boldsymbol{\Phi }}^{\mathrm{H}}\mathbf {G }) σ2(GHΦΦHAΦG+GHΦHAΦΦHG) 简化为了 g 1 g_1 g1 中的第1项， g 1 g_1 g1 中的第2项是 E R E H \mathbf{ERE}^\mathrm{H} EREH。 σ 2 C C H \sigma ^{2}\mathbf {CC} ^{\mathrm{H}} σ2CCH 是 ϱ 4 σ 2 ∥ g H Ψ H A Ψ ∥ 2 2 \varrho ^{4}\sigma ^{2}\|{\mathbf {g}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Psi }} ^{\mathrm{H}}{\mathbf {A\Psi }}\|^{2}_{2} ϱ4σ2∥gHΨHAΨ∥22， 2 σ 2 G H Φ H Φ G 2\sigma ^{2}\mathbf {G} ^{\mathrm{H}}\boldsymbol{\Phi }^{\mathrm{H}}\mathbf {\Phi G} 2σ2GHΦHΦG 是 2 ϱ 2 σ 2 ∥ g H Ψ ∥ 2 2 2\varrho ^{2}\sigma ^{2}\|{\mathbf {g}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{\Psi }}\|^{2}_{2} 2ϱ2σ2∥gHΨ∥22。
(11) 中的传输功率限制可以表述为
P t ϱ 4 T r ( A Ψ g g H Ψ H A H ) + σ 2 ϱ 4 ∥ A ∥ F 2 + P t ϱ 2 ∥ g ∥ 2 2 + 2 σ 2 ϱ 2 = P t ϱ 4 f 2 ∥ β r a 3 ( θ 3 ) ∥ 2 2 + σ 2 ϱ 4 ∥ A ∥ F 2 + P t ϱ 2 ∥ g ∥ 2 2 + 2 σ 2 ϱ 2 = P t ϱ 4 f 2 N β r + σ 2 ϱ 4 N 2 β r 2 + P t ϱ 2 N g 2 + 2 σ 2 ϱ 2 ≤ P R I S . \begin{align*} &\hspace {-.1pc}{P}_{t}\varrho ^{4}{\mathrm {Tr}}(\mathbf { A \Psi g g^{\mathrm{H}} \Psi ^{\mathrm{H}} A^{\mathrm{H}} })+\sigma ^{2}\varrho ^{4} \|\mathbf { A }\|_{F}^{2} +{P}_{t}\varrho ^{2} \|\mathbf { g }\|_{2}^{2} +2\sigma ^{2}\varrho ^{2} \\[4pt] &={P}_{t}\varrho ^{4}f^{2}\|\sqrt {\beta _{\mathrm {r}}}\mathbf {a}_{3}(\theta _{3})\|^{2}_{2}+\sigma ^{2}\varrho ^{4} \|\mathbf { A }\|_{F}^{2} +{P}_{t}\varrho ^{2} \|\mathbf { g }\|_{2}^{2} +2\sigma ^{2}\varrho ^{2} \\[4pt] &={P}_{t}\varrho ^{4}f^{2} N \beta _{\mathrm {r}}+\sigma ^{2}\varrho ^{4} N^{2} \beta _{\mathrm {r}}^{2} +{P}_{t}\varrho ^{2} N g^{2} +2\sigma ^{2}\varrho ^{2} \\[4pt] &\le P_{\mathrm{RIS}}. \tag{56}\end{align*} Ptϱ4Tr(AΨggHΨHAH)+σ2ϱ4∥A∥F2+Ptϱ2∥g∥22+2σ2ϱ2=Ptϱ4f2∥βra3(θ3)∥22+σ2ϱ4∥A∥F2+Ptϱ2∥g∥22+2σ2ϱ2=Ptϱ4f2Nβr+σ2ϱ4N2βr2+Ptϱ2Ng2+2σ2ϱ2≤PRIS.(56)
在大多数情况下，反射信号的功率远大于主动 RIS 中引入的热噪声的功率。传输功率约束可以简化为： P t ϱ 4 f 2 N β r + P t ϱ 2 N g 2 ≤ P R I S {P}_{t}\varrho ^{4} f^{2} N \beta _{\mathrm {r}} +{P}_{t}\varrho ^{2} N g^{2} \le P_{\mathrm{RIS}} Ptϱ4f2Nβr+Ptϱ2Ng2≤PRIS
因此，简化系统中的优化问题可以表述为：
max
ϱ
,
f
2
P
t
ϱ
4
f
4
σ
r
2
+
ϱ
4
σ
2
f
2
N
β
r
+
2
ϱ
2
σ
2
N
g
2
+
g
1
s.t.
ϱ
2
≤
a
R
I
S
,
P
t
ϱ
4
f
2
N
β
r
+
P
t
ϱ
2
N
g
2
≤
P
R
I
S
.
\begin{align*} \max \limits _{\varrho,f^{2} } \quad &\frac {P_{t} \varrho ^{4} f^{4}}{\sigma ^{2}_{\mathrm{r}}+\varrho ^{4}\sigma ^{2} f^{2} N \beta _{\mathrm {r}}+2\varrho ^{2}\sigma ^{2} N g^{2}+g_{1}} \tag{57a}\\[4pt] \textrm {s.t.}\quad &\varrho ^{2}\le a_{\mathrm{RIS}}, \tag{57b}\\[4pt] &{P}_{t}\varrho ^{4} f^{2} N \beta _{\mathrm {r}}+{P}_{t}\varrho ^{2} N g^{2} \le P_{\mathrm{RIS}}. \tag{57c}\end{align*}
ϱ,f2maxs.t.σr2+ϱ4σ2f2Nβr+2ϱ2σ2Ng2+g1Ptϱ4f4ϱ2≤aRIS,Ptϱ4f2Nβr+Ptϱ2Ng2≤PRIS.(57a)(57b)(57c)
优化变量
f
2
f^2
f2 和
ϱ
\varrho
ϱ 分别表示由主动 RIS 引入的波束成形增益和功率放大增益。为了最大化 SINR，至少需要将不等式约束
(
57
b
)
(57b)
(57b) 或
(
57
c
)
(57c)
(57c) 中的一个转化为等式约束。根据这一观察，我们可以考虑两种情况：
a) 主动 RIS 的传输功率预算不足，即：
P t ϱ 4 f 2 N β r + P t ϱ 2 N g 2 = P RIS ， P_t \varrho^4 f^2 N \beta_r + P_t \varrho^2 N g^2 = P_{\text{RIS}}， Ptϱ4f2Nβr+Ptϱ2Ng2=PRIS，
b) 功率放大增益受限，即：
ϱ 2 = a RIS 。 \varrho^2 = a_{\text{RIS}}。 ϱ2=aRIS。
B. Power Scaling Law Analysis
由于问题 (57) 的求解仍然具有挑战性，我们无法直接获得雷达 SINR 的渐近表达式。一种替代的解决方法是考虑雷达 SINR 的某种近似。具体而言，我们首先推导雷达 SINR 的下界和上界的增长阶（scaling order），然后根据夹逼定理（Sandwich Theorem），可以得到雷达 SINR 的增长阶。
引理 4：通过仅考虑第一个反射信号引入的热噪声，雷达 SINR 的上界由以下公式给出：
S I N R ≤ S I N R u p ≜ P t ϱ 4 f 4 ϱ 4 σ 2 f 2 N β r = P t f 2 σ 2 N β r , \begin{equation*} {\mathrm{ SINR}}\le {\mathrm{ SINR}}_{\mathrm{up}}\triangleq \frac {P_{t} \varrho ^{4} f^{4}}{\varrho ^{4}\sigma ^{2} f^{2} N \beta _{\mathrm {r}}} =\frac {P_{t} f^{2}}{\sigma ^{2} N \beta _{\mathrm {r}}}, \tag{58}\end{equation*} SINR≤SINRup≜ϱ4σ2f2NβrPtϱ4f4=σ2NβrPtf2,(58)
其增长阶为 O ( N ) \mathcal{O}(N) O(N)。
证明：雷达 SINR 的上界 SINR up \text{SINR}_{\text{up}} SINRup 是波束成形增益 f 2 f^2 f2 的单调递增函数。因此，通过减少功率放大增益，同时确保约束条件 (57b) 和 (57c) 得到满足，我们可以始终获得最大波束成形增益。
最大波束成形增益为 f 2 = N 2 g 2 β r f^2 = N^2 g^2 \beta_r f2=N2g2βr，可以通过以下相位调整实现：
ψ n = arg { [ a 3 ( θ 3 ) ] n } − arg { [ g ] n } , ∀ n . \begin{equation*} \psi _{n}= \arg \left \{{\left [{\mathbf {a}_{3}(\theta _{3})}\right]_{n}}\right \}-\arg \left \{{\left [{\mathbf {g}}\right]_{n}}\right \}, \forall n. \tag{59}\end{equation*} ψn=arg{[a3(θ3)]n}−arg{[g]n},∀n.(59)
因此，当 N → ∞ N \to \infty N→∞ 时，我们可以得出雷达 SINR 的上界具有增长阶 O ( N ) \mathcal{O}(N) O(N)。■
备注：定理 1 表明，尽管信号被有源 RIS 反射了两次，雷达 SINR 的增长阶仍然只是 N N N，类似于有源 RIS 辅助通信系统中的情况 [30]。增长阶可以直观地解释如下：发射的感知信号经历了四跳路径损耗，因而导致信号项的增长阶为 O ( N 4 ) \mathcal{O}(N^4) O(N4)。然而，正如公式 (58) 的分母中所指出的，由第一次反射信号引入的噪声也经历了三跳路径损耗，这导致噪声项的增长阶为 O ( N 3 ) \mathcal{O}(N^3) O(N3)。
C. Active RIS and Passive RIS Comparison
这里的图例应该是标错了
图 5 比较了雷达 SINR 随 RIS 元素数量变化的性能。考虑了被动和有源 RIS 辅助 ISAC 系统的硬件功耗和传输功率。总功耗预算分别为：
- 有源 RIS（记为
Q
act
Q_{\text{act}}
Qact）：
Q act = P BS + P RIS + N ( P SW + P DC ) , Q_{\text{act}} = P_{\text{BS}} + P_{\text{RIS}} + N \left(P_{\text{SW}} + P_{\text{DC}}\right), Qact=PBS+PRIS+N(PSW+PDC), - 被动 RIS（记为
Q
pas
Q_{\text{pas}}
Qpas）：
Q pas = P BS pas + N P SW , Q_{\text{pas}} = P_{\text{BS}}^{\text{pas}} + N P_{\text{SW}}, Qpas=PBSpas+NPSW,
其中：
- P BS pas P_{\text{BS}}^{\text{pas}} PBSpas 表示被动 RIS 辅助 ISAC 系统的基站传输功率；
- P SW = − 5 dBm P_{\text{SW}} = -5\,\text{dBm} PSW=−5dBm 表示每个 RIS 元素的相位控制功耗；
- P DC = − 10 dBm P_{\text{DC}} = -10\,\text{dBm} PDC=−10dBm 表示每个 RIS 元素的直流（DC）功耗 [31]。
在所考虑的方案中，有源 RIS 的传输功率为 P RIS = 0.1 W P_{\text{RIS}} = 0.1\,\text{W} PRIS=0.1W，其余功率在扣除功耗后分配给基站。对于被动 RIS 辅助系统，由于它仅消耗少量的电路功率，相应地更多的传输功率分配给基站以提升系统性能。
如图 5 所示，随着 RIS 元素数量的增加，有源 RIS 和被动 RIS 的感知性能均有所提高。此外，增加反射单元的数量相比于增加天线数量可以获得更高的性能增益。最后，当 RIS 元素数量为 N = 36 N = 36 N=36 时，有源 RIS 的性能优于被动 RIS，其功耗预算分别为 Q act = 1 W Q_{\text{act}} = 1\,\text{W} Qact=1W 和 Q pas = 100 W Q_{\text{pas}} = 100\,\text{W} Qpas=100W，对应的感知性能分别约为 70 dB 70\,\text{dB} 70dB 和 50 dB 50\,\text{dB} 50dB。
D. Power Allocation Among BS and Active RIS
在图 6 中，我们研究了基站和有源 RIS 之间的传输功率分配，通过固定 Q act = 1 W Q_{\text{act}} = 1\,\text{W} Qact=1W 并针对不同数量的 RIS 元素改变 P RIS P_{\text{RIS}} PRIS。
首先，我们研究了在未考虑放大增益约束的情况下的场景。在这种情况下，我们发现将更多的传输功率分配给有源 RIS 是有利的，如第 V-C 节中讨论的那样。
对于受限于功率放大增益约束的有源 RIS 辅助 ISAC 系统，雷达 SINR 随着 RIS 传输功率 P RIS P_{\text{RIS}} PRIS 的增加而初始改善，但当 P RIS P_{\text{RIS}} PRIS 超过 0.05 W 0.05\,\text{W} 0.05W 时，SINR 开始恶化。这种现象的原因在于，当 P RIS > 0.05 W P_{\text{RIS}} > 0.05\,\text{W} PRIS>0.05W 时，大多数反射单元的功率放大增益已达到其最大值。因此，有源 RIS 的传输功率在有源 RIS 的功率预算增加时并不会继续提高。相反，由于 DFRC 基站的传输功率减少，雷达 SINR 反而降低。此外，无论是否考虑放大增益约束，增加反射单元的数量都可以提升雷达 SINR。
E. Deployment of the Active RIS
图 7 展示了被动 RIS 和有源 RIS 的部署如何影响雷达 SINR。如第 V-D 节中所讨论的，当不考虑功率放大增益时，雷达 SINR 随着 x x x 的增加单调增长。
当考虑功率放大增益时，雷达 SINR 会随着 x x x 的增加先减小，然后增加，并在 x = 30 x = 30 x=30 m 时达到最小值，表现出与被动 RIS 相似的性能趋势。此外，随着有源 RIS 位置 x x x 的增加，有功率放大增益约束和无功率放大增益约束的有源 RIS 之间的性能差距变得更加明显。
当存在功率放大增益约束时，随着基站和 RIS 之间距离的增加，有源 RIS 上的消耗功率会变小。另一方面，当不考虑功率放大增益时，有源 RIS 上的传输功率始终等于其最大传输功率。因此，随着距离的增加，这两种情况下传输功率和雷达 SINR 的差异会变得更大。
注意，图7中的这两条线之所以也是单调递增的是因为，两者在 x x x 较小的时候，Active RIS 都是满功率运行的，都达不到这个 a R I S a_{\mathrm{RIS}} aRIS 的限制，因此曲线基本重合。相当于也是没有考虑功率放大增益。
值得注意的是，当有源 RIS 具有受限的功率放大增益和不同的传输功率预算（如“Act. RIS, P RIS = 0.01 W , a RIS = 40 dB P_{\text{RIS}} = 0.01\,\text{W}, a_{\text{RIS}} = 40\,\text{dB} PRIS=0.01W,aRIS=40dB” 和 “Act. RIS, P RIS = 0.1 W , a RIS = 40 dB P_{\text{RIS}} = 0.1\,\text{W}, a_{\text{RIS}} = 40\,\text{dB} PRIS=0.1W,aRIS=40dB” 所示）时，其性能差距随着 RIS 接近目标位置逐渐减小。
特别是，当 RIS 位于目标附近（ x = 50 m x = 50\,\text{m} x=50m）时，传输功率为 0.01 W 0.01\,\text{W} 0.01W 的有源 RIS 的性能与传输功率为 0.1 W 0.1\,\text{W} 0.1W 的有源 RIS 表现出相似的性能。为了阐明这一结果，我们分析了在 a RIS = 40 dB a_{\text{RIS}} = 40\,\text{dB} aRIS=40dB 和 P RIS = 0.1 W P_{\text{RIS}} = 0.1\,\text{W} PRIS=0.1W 条件下，不同位置的有源 RIS 的可实现传输功率消耗的累计分布函数 (CDF)。如图 8 所示，在所有情况下，传输功率均低于 P RIS = 0.1 W P_{\text{RIS}} = 0.1\,\text{W} PRIS=0.1W。当 x = 50 m x = 50\,\text{m} x=50m 时，有源 RIS 的传输功率约为 0.01 W 0.01\,\text{W} 0.01W，这解释了当有源 RIS 位于目标附近时， P RIS = 0.1 W P_{\text{RIS}} = 0.1\,\text{W} PRIS=0.1W 和 P RIS = 0.01 W P_{\text{RIS}} = 0.01\,\text{W} PRIS=0.01W 表现出类似性能的原因。
我们得出结论，传输功率预算和功率放大增益约束显著影响了 RIS 的部署策略。通常，将有源 RIS 部署在靠近目标位置的地方是一个优化解决方案，因为它能够提供更高的雷达 SINR，并可能降低有源 RIS 的功率消耗。
G. Beampattern of the Proposed Scheme
图 11 比较了有源 RIS 不同反射单元数量下归一化感知波束图的性能。针对角度 θ \theta θ，有源 RIS 的波束图增益定义为：
P ( θ ) ≜ E [ ∣ a 3 H ( θ ) Φ G x ∣ 2 ] = a 3 H ( θ ) Φ G R G H Φ H a 3 ( θ ) . (71) \mathcal{P}(\theta) \triangleq \mathbb{E} \left[ \left| \mathbf{a}_3^\mathrm{H}(\theta) \Phi \mathbf{G} \mathbf{x} \right|^2 \right] = \mathbf{a}_3^\mathrm{H}(\theta) \Phi \mathbf{G} \mathbf{R} \mathbf{G}^\mathrm{H} \Phi^\mathrm{H} \mathbf{a}_3(\theta). \tag{71} P(θ)≜E[ a3H(θ)ΦGx 2]=a3H(θ)ΦGRGHΦHa3(θ).(71)
从图 11 中可以观察到，增加有源 RIS 的反射单元数量可以增强性能，并产生更窄的波束。然而，在目标与有源 RIS 之间的角度估计不准确的情况下（尤其是在高速移动场景中），这种配置可能会导致更大的性能下降。
VII. PRACTICAL ISSUES AND OPEN PROBLEMS
在本文的前述章节中，为了简化分析，采用了一些理想化假设。以下内容将简要介绍一些在未来研究中可能需要进一步关注的实际问题。
A. Active RIS Architectures and Wideband Scenarios
除了本文中采用的有源 RIS 架构外，近年来的文献 [48], [49] 提出了多种替代性的有源 RIS 架构，这些架构具有更低的成本/功耗或增加的功能。例如，文献 [48] 引入了一种替代性的有源 RIS 架构，该架构使用两个独立的被动 RIS 和一个功率放大器；而文献 [49] 的作者提出了一种新颖的双面有源 RIS（DFA-RIS）结构，可以同时实现全空间覆盖。
此外，现有文献主要集中于窄带信号下有源 RIS 的研究，这无法直接扩展到宽带有源 RIS 辅助系统中。这是因为反射信号的幅度和相位随着入射信号频率的不同而变化 [50]。因此，需要进一步研究有源 RIS 辅助 ISAC 系统在宽带场景下的不同模型和性能特性。
B. Advanced Signal Processing Techniques
由于主动反射表面（RIS）不包含完整的射频（RF）链路或任何传感器，因此在双功能雷达通信（DFRC）基站中的信号处理面临若干挑战。例如，与被动RIS辅助系统相比，在基站中获取主动RIS辅助信道的精确信道状态信息（CSI）更具挑战性。此外，在主动RIS辅助的一体化感知与通信（ISAC）系统中，有效消除干扰和实现全双工技术也带来了有趣的技术难题[51]。此外，动态配置主动RIS的反射系数以精确跟踪移动目标是一项复杂且充满挑战的任务，需要创新的解决方案。
