路径规划之启发式算法之四：蚁群算法（Ant Colony Optimization，ACO）

蚁群算法（Ant Colony Optimization，ACO）是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式搜索算法，由Marco Dorigo于1992年在他的博士论文中提出。该算法适用于解决组合优化问题，如旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP）等。

一、原理

蚁群算法的原理主要基于蚂蚁在寻找食物过程中释放信息素（pheromone）的行为。蚂蚁在运动过程中会在其经过的路径上留下信息素，而且蚂蚁也能够感知信息素的存在浓度，以此来指导自己的移动方向。每只蚂蚁都倾向于朝着信息素浓度高的方向移动，这就形成了正反馈现象。久而久之，几乎所有的蚂蚁都将选择同一条路径移动（因为这条路径的信息素浓度远远大于其他路径上的信息素）。

二、核心概念

（1）信息素：蚂蚁在移动过程中释放的化学物质，用于指导其他蚂蚁的移动方向。信息素的浓度与路径的长度成反比，即路径越短，信息素浓度越高。

（2）正反馈：信息素浓度高的路径会吸引更多的蚂蚁选择，从而进一步增加该路径上的信息素浓度，形成正反馈效应。

（3）多样性：蚂蚁在觅食过程中会尝试不同的路径，这保证了算法的多样性，有助于避免陷入局部最优解。

（4）并行性：多个蚂蚁能同时进行路径搜索，这提高了算法的搜索效率。

三、关键公式

（1）路径选择公式（转移概率公式）：蚂蚁从城市 $i$ 转移到城市 $j$ 的概率 $P_{i,j}^{k}(t)$ 由以下公式决定：

其中， $\tau _{i,j}(t)$ 是时刻 $t$ 时城市 $i$ 和 $j$ 之间路径上的信息素浓度， $\eta _{i,j}(t)$ 是启发函数（通常是路径距离的倒数）， $\alpha$ 和 $\beta$ 是控制信息素浓度和启发信息相对重要性的参数， $N_{s}^{k}(t)$ 是蚂蚁 $k$ 在时刻 $t$ 可以选择的城市集合。

（2）信息素浓度更新公式：信息素的更新通常包括全局更新和局部更新。全局更新公式如下：

其中， $\rho$ 是信息素的蒸发率， $\Delta \tau _{i,j}(t)$ 是时刻 $t$ 所有蚂蚁在路径 $(i,j)$ 上增加的信息素总量。对于局部更新，只有最后经过的路径上的信息素会被更新：

其中， $\varphi$ 是信息素衰减系数， $\tau _{0}$ 是信息素的初始值。

（3）信息素增加量：信息素的增加量 $\Delta \tau _{i,j}$ 可以依赖于解的质量，例如在旅行商问题（TSP）中，可以设置为：

其中， $L_{best}$ 是当前迭代中找到的最佳路径长度。

这些公式是蚁群算法中的核心，蚁群算法通过路径选择公式和信息素浓度更新公式共同工作，模拟了蚂蚁觅食过程中的信息素积累和挥发机制。路径选择公式使得蚂蚁倾向于选择信息素浓度高且路径短的路径，而信息素浓度更新公式则根据蚂蚁走过的路径长度来更新路径上的信息素浓度，从而形成了正反馈机制，使得算法逐渐收敛到最优解或近似最优解。