目录

1. 图的基本概念

2. 图的存储结构

2.1 邻接矩阵

2.1.1私有成员变量

2.1.2类模板的声明

2.1.3构造函数

2.1.4获取顶点下标

2.1.5添加边的信息

2.1.6打印图

2.1.7测试用例

2.2邻接表

2.2.1私有成员变量

2.2.2Edge类

2.2.3类模板的声明

2.2.4构造函数

2.2.5获取顶点下标

2.2.6添加边的信息

2.2.7打印图

2.2.8测试用例

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1. 图的基本概念

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：

顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；

E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。

(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即 Path(x, y)是有方向的。

顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。

有向图和无向图：在有向图中，顶点对是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x,y>和<y,x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y) 是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x) 是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x,y>和<y,x>。

完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边， 则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。

邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若<u,v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边与顶点u和顶点v相关联。

顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。

路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。

路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一 条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路 径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。

子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。

连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一 对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj 到 vi的路径，则称此图是强连通图。

生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。

2. 图的存储结构

因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？

2.1 邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

注意：

1. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一 定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。

2. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替。

3. 用邻接矩阵存储图的优点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路 径不是很好求。

2.1.1私有成员变量

	private:
	vector<V> _vertexs;//顶点集合
	map<V, int> _indexMap;//顶点映射下标
	vector<vector<W>> _matrix; //邻接矩阵

我们的私有成员变量有三个，一个是存储顶点的vector，一个是存储顶点与下标映射关系的map，还有一个就是存储边信息的二维数组。V和W是我们类模板声明出来的变量，分别代表顶点和边的类型。

2.1.2类模板的声明

template<class V,class W,W MAX_W = INT_MAX , bool Direction = false>

V，W我们已经说过了，MAX_W就是我们设置的无穷大变量，用来标识两点不连通时的情况，Direction变量的意思是我们的图是有向的还是无向的，我们给它个缺省值为false，默认它是无向的。

2.1.3构造函数

class Graph
	{
		typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;
	public:
		//图的创建
		//1、IO输入 -- 不方便测试，oj更适合
		//2、图结构关系写到文件，读取文件
		//3、手动添加边
		Graph() = default;

		Graph(const V* a,size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs.push_back(a[i]);
				_indexMap[a[i]] = i;
			}
			_matrix.resize(n);
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{

				_matrix[i].resize(n, MAX_W);
			}
		}
    }

我们先将这个图重命名一下，方便我们后面使用，为了方便我们测试，我们采用的是手动添加边的方式。无参构造我们将它设置成默认，就是让编译器自己生成，然后我们的带参构造，我们需要把顶点数组里面的元素全部填入顶点vector里面，并且记录顶点与下标的映射关系，然后我们先将二维数组进行初始化，用MAX_W来表达他们未联通的状态。

2.1.4获取顶点下标

size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto it = _indexMap.find(v);
			if (it != _indexMap.end())
			{
				return it->second;
			}
			else 
			{ 
				throw invalid_argument("顶点不存在");

				return -1; 
			}
		}

这个操作很简单，我们只需要在map里面找就可以了，找到了就返回它的下标，找不到就说明这个参数无效，我们将它用std::invalid_argument类抛异常，错误描述信息为"顶点不存在"并返回-1。

2.1.5添加边的信息

void _AddEdge(size_t src, size_t dst, const W& w)
		{
			_matrix[src][dst] = w;
			//无向图
			if (Direction == false)
			{
				_matrix[dst][src] = w;
			}
		}

		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);

			_AddEdge(srci, dsti, w);
		}

_AddEdge是AddEdge的子函数，我们从下往上看，要想添加边，我们需要的参数是这条边的起点和终点，还有边的权值。在有了这些参数之后，我们要获得这两个顶点的下标，然后我们就可以在二维数组里面将他们的边的权值填上，倘若是无向的，那么我们还要把他们的起始点和终点的位置交换一下，再给他们也填一下边的权值。

2.1.6打印图

void Print()
		{
			//顶点
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
			}
			cout << endl;

			//打印下标
			cout << "  ";
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				//cout << i << " ";
				printf("%4d", i);
			}
			cout << endl;
			
			//矩阵
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{
				cout << i << " ";
				for (size_t j = 0; j < _matrix.size(); j++)
				{
					if (_matrix[i][j] == MAX_W)
					{
						//cout << "*" << " ";
						printf("%4c", '*');
					}
					else {
					//cout << _matrix[i][j] << " ";
						printf("%4d", _matrix[i][j]);
					}
				}cout << endl;
			}
			cout << endl;
		}

我们先将顶点与它下标的对应关系打印出来，然后我们打印矩阵，我们先将第一行、第一列用下标来填充，然后再将边的信息打印出来，不连通的点我们用符号'*'来代替。

2.1.7测试用例

matrix::Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);
	g.AddEdge('0', '1', 1);
	g.AddEdge('0', '3', 4);
	g.AddEdge('1', '3', 2);
	g.AddEdge('1', '2', 9);
	g.AddEdge('2', '3', 8);
	g.AddEdge('2', '1', 5);
	g.AddEdge('2', '0', 3);
	g.AddEdge('3', '2', 6);
	g.Print();

这里我们用的是有向图，运行截图如下：

2.2邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。

1. 无向图邻接表存储

注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点 vi边链表集合中结点的数目即可。

2. 有向图邻接表存储

注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就 是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链 表，看有多少边顶点的dst取值是i。

我们就简单实现一下入边就可以了。

2.2.1私有成员变量

private:
		vector<V> _vertexs;//顶点集合
		map<V, int> _indexMap;//顶点映射下标
		vector<Edge*> _tables; //邻接表
	};

唯一不同的就是把邻接矩阵二维数组换成了vector链表。

2.2.2Edge类

template<class W>
	struct Edge
	{
		int _dsti;//目标点的下标
		W _w;//权值
		Edge<W>* _next;

		Edge(int dsti,const W& w)
			:_dsti(dsti)
			,_w(w)
			,_next(nullptr)
		{}
	};

Edge节点存的是我们边的信息，它包括我们的目标点下标，权值，next节点指针，我们再实现一下带参构造就可以了。

2.2.3类模板的声明

template<class V, class W, bool Direction = false>

这里我们就不需要最大值来填充不连通的点了，因为不连通的点根本就不会出现在我们的邻接表中。

2.2.4构造函数

typedef Edge<W> Edge;
	public:
		//图的创建
		//1、IO输入 -- 不方便测试，oj更适合
		//2、图结构关系写到文件，读取文件
		//3、手动添加边
		Graph(const V* a, size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs.push_back(a[i]);
				_indexMap[a[i]] = i;
			}
			_tables.resize(n);
		}

我们先将节点重命名一下，方便我们后续编写代码，带参构造中，我们先将顶点存好，下标映射关系对好，我们先将邻接表初始化空间。

2.2.5获取顶点下标

size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto it = _indexMap.find(v);
			if (it != _indexMap.end())
			{
				return it->second;
			}
			else
			{
				throw invalid_argument("顶点不存在");

				return -1;
			}
		}

这个操作跟我们的邻接矩阵是一模一样的。

2.2.6添加边的信息

void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
			//1->2
			Edge* eg = new Edge(dsti, w);
			eg->_next = _tables[srci];
			_tables[srci] = eg;

			//2->1
			if (Direction == false)
			{
				Edge* eg = new Edge(srci, w);
				eg->_next = _tables[dsti];
				_tables[dsti] = eg;
			}
		}

我们还是要获取起点和终点的下标，然后创建节点，我们采用头插的方式将节点边的关系创建好，倘若是无向的，我们还要进行跟邻接矩阵同样的操作。

2.2.7打印图

void Print()
		{
			//顶点
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
			}
			cout << endl;

			for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++)
			{
				cout << _vertexs[i] << "[" << i << "]->";
				Edge* cur = _tables[i];
				while (cur)
				{
					cout << "[" << _vertexs[cur->_dsti] << ":" << cur->_dsti << ":" << cur->_w << "]->";
					cur = cur->_next;
				}
				cout << "nullptr" << endl;
			}
		}

2.2.8测试用例

string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" };
	link_table::Graph<string, int,true> g1(a, 4);
	g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
	g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
	g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);

运行截图如下：