今天分享的内容是动态规划的经典问题--0-1 背包问题

0-1背包问题的描述如下:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价值,背包的总容量是固定的。我们需要从这些物品中挑选一部分,使得背包内物品的总价值最大,同时不超过背包的总容量。
举个例子：假设这组物品的质量分别是：

const weight = [2, 2, 6, 4, 3];

背包总容量为 9，请问将这些物品装入背包，最多能装多少，分别是哪些？

思路分析

之前用回溯算法解决过这个问题，回溯算法有其自身的局限性--指数级别的复杂度。那这篇文章就和上篇文章一样，用动态规划的思路把 0-1 背包问题重新解决一遍

回溯算法的思路是，每种可能都去尝试，即遍历所有的可能，找到最优解。而动态规划不会傻傻地遍历所有的可能性，而是会去掉重复的路径，在剩下的路径下继续探索

背包的总容量是 9，那么不看具体的物品重量，放入背包的重量的可能性一共有 9 种，动态规划将会使计算范围框定在这 9 种范围之内，并且相同重量的物品组合，只保留其中一种。这样下来，动态规划的复杂度就是 n*m 了，n 是物品的种类，m 是背包的总容量

看不明白？没关系，看看下面的过程分析就懂啦

过程分析

weight = [2, 2, 6, 4, 3];

代码的实现就是填满上面的表格。行表示，该行的物品放与不放的重量种类；列表示背包中物品重量之和
上面第一个行填了两个 true，第一个 true 表示不放 1 号物品时，背包的总重量是 0kg；第二个 true 表示放 1 号物品时，背包的总重量是 2kg
继续填第二行

weight = [2, 2, 6, 4, 3];

共有 3 个 true， 第一个 true 和 第二个 true 表示不放入 2 号物品时，背包的重量可能性--有 0kg 和 2kg 两种可能性；第三个 true 表示，同时放 1 号物品和 2 号物品的情况。

其实，大家仔细想想，如果只放 2 号物品，不放 1 号物品时，背包的重量是多少？也是 2kg，所以第二个 true 也表示只放 2 号物品，不放 1 号物品的情况。这里动态规划将两个 2kg 的情况合并成一种情况。

以至于 1 号和 2 号物品的放与不放有 2^2 种情况，但是组合成的重量却只有 3 种情况. 这就是动态规划提升性能的关键

继续往下看
、

weight = [2, 2, 6, 4, 3];

第三行共有 5 个 true，前 3 个 true 直接看成是不放 3 号物品时，背包重量的可能性。后面两个 true，一个是 6kg，是只放 3 号物品的情况；另一个是 8kg，可以看成是放 1 号和 3 号物品的情况，也可以看成是 2 号和 3 号物品的情况。

3 种物品共有 2^3 情况，但是动态规划将其合并成 5 种情况。

true 的填写是有规律的，首先填写不放该行物品的情况，即直接照抄上一行的内容，然后从前往后依次对每个 true 的重量加上自身重量，比如第 3 行的第 4 个 true，就是第一个 true 的 0kg 加上 6kg 得到的。第 3 行的第 5 个 true ，是第二个 true 的 2kg 加上 6kg 得到的。再往后相加的话就超过 9kg 了，就停止相加。

大家可以试着推推第 4 行的内容

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第 4 行：

weight = [2, 2, 6, 4, 3];

第 5 行：

weight = [2, 2, 6, 4, 3];

可以看到第 5 行的最后一格是 true，也就说明，物品的组合中，是可以将背包填满的。所以背包可以装入的最大重量是 9kg，问题解决！

代码实现

const weight = [1, 2, 2, 6, 5, 8];

const findWeight = (weight) => {
  const store = Array(weight.length)
    .fill(1)
    .map(() => Array(packageWeight + 1).fill(false));
  
  store[0][0] = true;
  
  store[0][weight[0]] = true;

  for (let i = 1; i < store.length; i++) {
    // 不放第i个物品
    for (let j = 0; j <= packageWeight; j++) {
      if (store[i - 1][j]) store[i][j] = true;
    }

    // 放第i个物品
    for (let j = 0; j <= packageWeight - weight[i]; j++) {
      if (store[i - 1][j]) store[i][j + weight[i]] = true;
    }
  }

  for (let i = packageWeight; i >= 0; i--) {
    if (store[weight.length - 1][i]) {
      console.log("the max weight is ", i);
      break;
    }
  }
}

1. 定义一个数组weight，表示物品的重量。变量packageWeight，表示背包的容量。接着实现了一个名为findWeight的函数，该函数接受一个参数weight，即物品重量的集合

在findWeight函数中，首先创建一个二维数组store，用来表示上面过程分析的表格，表格的内容初始化为 false。store 的行和列含义也和上面表格一致。在遍历 store 之前，先初始化第一行的内容，即放与不放 0 号物品的两种情况。

遍历 store 数组，从第二行开始，也就是 i==1。每一行先考虑不放第 i 个物品。然后再计算放入第 i 个物品的时候，这一行的内容有什么变化。

遍历完所有的行，store 数组中最后一行的最后一个 true 所表示的重量，就是我们要的答案啦

执行代码

findWeight(weight);
// the max weight is  9

这是 store 的内容：

换个数据试试：

const weight = [2, 2, 6, 4, 4];
findWeight(weight);
// the max weight is  8

这是 store 中的内容情况：

遗留的问题

按照上面的代码只是知道了最多能装多少，但不知道装了哪些东西，你可以根据最后生成的store内容判断放入了哪些东西吗？在之后的文章中，大家可以看到对这个问题的解答

总结

这篇文章讲了如何用动态规划来解决 0-1 背包问题，其中有解题的思路分析，还有具体的过程分析，每个过程都有图片，很清晰了。相信大家对着图片多看几遍，就知道动态规划是怎么解决问题的了。最后还有 JS 代码实现，大家可以 copy 到本地跑一跑，这样会更清楚