【机器学习】机器学习的基本分类-监督学习-逻辑回归-Sigmoid 函数

Sigmoid 函数是一种常用的激活函数，尤其在神经网络和逻辑回归中扮演重要角色。它将输入的实数映射到区间 (0, 1)，形状类似于字母 "S"。

1. 定义与公式

Sigmoid 函数的公式为：

$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

特点

输出范围：(0, 1)，适合用于概率预测。
单调性：是一个单调递增函数。
对称性：以 x = 0 为中心，对称于 y = 0.5。

2.Sigmoid 函数的推导过程

2-1. 目标与需求

我们希望构造一个函数 f(x) 满足以下性质：

输出范围：f(x) 的值限定在区间 (0, 1)，便于解释为概率。
平滑性：函数连续且可导，以便使用梯度下降进行优化。
单调性：函数值随着输入 x 的增大而增大。
对称性：以 x = 0 为对称中心，输入为 0 时，输出为 0.5，表示不偏不倚的概率。

2-2. 构造 Sigmoid 函数

为了满足这些性质，可以使用指数函数 $e^x$ 的形式，因为指数函数本身是平滑的、单调递增的。

构造输出范围

首先，为了限制输出范围在 (0, 1)，我们构造如下函数：

$f(x) = \frac{1}{1 + g(x)}$

其中 g(x) > 0 保证分母大于 1，因此 f(x) 始终在 (0, 1)。

选择 $g(x) = e^{-x}$ ，得到：

$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

性质验证

输出范围：
- 当 $x \to \infty$ ， $e^{-x} \to 0$ ， $f(x) \to 1$ ；
- 当 $x \to -\infty$ ， $e^{-x} \to \infty$ ， $f(x) \to 0$ 。
单调性：指数函数 $e^{-x}$ 单调递减，分母 $1 + e^{-x}$ 随 x 增大而变大，分数值变小，因此 f(x) 单调递增。
对称性：令 x = 0，
$f(0) = \frac{1}{1 + e^0} = \frac{1}{2}$
满足 f(0) = 0.5，以 x = 0 为中心对称。

2-3. 导数推导

公式

导数计算如下：

$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

对 f(x) 求导：

分母求导法则：
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$
应用到 f(x)：设 $u = 1 + e^{-x}$ ，则：
$f'(x) = -\frac{1}{(1 + e^{-x})^2} \cdot (-e^{-x}) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}$
进一步化简：
$f'(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \cdot \left(1 - \frac{1}{1 + e^{-x}}\right)$
记 $\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$ ，得：
$f'(x) = \sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x))$

2-4. 推导的直观解释

概率建模视角

Sigmoid 函数可以看作将线性模型的输出 $z = w^T x + b$ 转换为概率值的过程：

$P(y=1|x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

当 $z \to \infty$ ，预测概率接近 1；当 $z \to -\infty$ ，预测概率接近 0。

对称性与平滑性

对称性来源于指数函数的性质：负指数 $e^{-x}$ 的曲线是正指数 $e^{x}$ 的镜像。
平滑性来源于指数函数的连续和可导性。

3. Sigmoid 的性质

导数

Sigmoid 的导数具有简洁的形式：

$\sigma'(x) = \sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x))$

这使得计算变得高效。

梯度消失问题

当 x 的绝对值较大时，σ(x) 的值接近 0 或 1，导数接近于 0。这会导致梯度更新过慢的问题，特别是在深层神经网络中。

4. Sigmoid 的用途

逻辑回归：
- 用于将线性回归的结果转化为二分类概率。
神经网络：
- 作为激活函数，尤其是输出层，用于预测概率值。
概率建模：
- 用于模型的概率预测或生成。

5. 缺点

梯度消失：
- 绝对值较大的输入导致梯度趋于 0，影响深层网络的训练。
非零均值：
- Sigmoid 输出的均值不为零，可能导致下一层神经元的输入分布偏移。

6. 代码实现

以下是 Sigmoid 函数的实现及其应用示例。

Sigmoid 函数

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Sigmoid 函数
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

# Sigmoid 导数
def sigmoid_derivative(x):
    s = sigmoid(x)
    return s * (1 - s)

# 绘图
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = sigmoid(x)
y_prime = sigmoid_derivative(x)

plt.plot(x, y, label='Sigmoid Function')
plt.plot(x, y_prime, label='Sigmoid Derivative', linestyle='--')
plt.title("Sigmoid and Its Derivative")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

逻辑回归示例

# 导入必要的库
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score

# 生成一个模拟的二分类数据集
# 这里详细说明了数据集的特性：样本数、特征数、类别数、信息特征数、冗余特征数、重复特征数和随机种子
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=4, n_classes=2, n_informative=2, n_redundant=1, n_repeated=0,
                           random_state=0)

# 将数据集分为训练集和测试集，测试集大小为30%，并设置了随机种子以保证结果的可重复性
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 初始化逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
# 使用训练集数据训练模型
model.fit(X_train, y_train)

# 使用训练好的模型对测试集进行预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 打印模型的准确率
print("Accuracy:", accuracy_score(y_test, y_pred))

输出结果

Accuracy: 0.9

7. Sigmoid 的替代品

为了克服 Sigmoid 的缺点，神经网络中常用以下替代激活函数：

ReLU（Rectified Linear Unit）： f(x) = max(0, x)
Leaky ReLU： $f(x) = \begin{cases} x & \text{if } x > 0 \\ \alpha x & \text{if } x \leq 0 \end{cases}$
Tanh： $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ 输出范围为 (-1, 1)。