【算法】倍增-ST表

一.倍增

倍增是一种常用的算法技巧，通常用于优化时间复杂度。它的核心思想是将原问题分解成若干个规模较小的子问题，通过对子问题的求解来得到原问题的解。具体来说，倍增算法通常采用二分思想，将问题规模不断缩小，直到问题规模足够小，可以直接求解。

在计算机科学中，倍增算法通常用于解决一些需要快速求解的问题，例如最近公共祖先、区间最大值、区间和等问题。通过采用倍增算法，可以将这些问题的时间复杂度从O(n)降低到O(logn)，从而大大提高算法的效率。

二.ST表

ST表（Sparse Table）是一种用于解决区间查询问题的数据结构。它可以在O(1)的时间复杂度内回答区间最值查询问题，如区间最大值、最小值等。

ST表的构建过程是基于动态规划的思想。首先，我们需要预处理出一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从位置i开始，长度为2^j的区间内的最值。然后，通过递推的方式，我们可以得到dp数组的所有值。

构建ST表的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是原始数组的长度。一旦ST表构建完成，我们可以在O(1)的时间内回答任意区间的最值查询。

ST表的应用非常广泛，特别是在解决静态区间查询问题时非常有效。例如，在解决最长公共前缀、区间最大值、区间最小值等问题时，ST表都可以提供高效的解决方案。

需要注意的是，ST表适用于静态数据，即查询操作多而修改操作少的情况。如果数据是动态变化的，需要频繁进行修改操作，那么ST表可能不是最优的选择，可以考虑其他数据结构，如线段树。

三.模板题

P3865 【模板】ST 表 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

四.参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;

int f[maxn][30];
int n,m;
int query(int l,int r){
	int k=log2(r-l+1);
	return max(f[l][k],f[r+1-(1<<k)][k]);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&f[i][0]);
	//初始化 
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
		for(int i=1;i<=n+1-(1<<j);i++){
			f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r;
		scanf("%d%d",&l,&r);
		printf("%d\n",query(l,r));
	}
	return 0;
}