前缀和算法习题篇(上)

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1.一维前缀和

题目描述：

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解法一：暴力解法：模拟

时间复杂度是O(n*q),会超时。

解法二：前缀和解法：快速求出数组中某一个连续区间的和

快速是指O(1),前缀和思想可把时间复杂度可降到O(q)。

算法思路：

先预处理出来一个前缀和数组：O(n)

dp[i] 表示： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] 里面存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和。
递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；

使用前缀和数组，快速求出某一个区间内所有元素的和：O(q)

当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1] 。

时间复杂度为O(q)+O(n).

为什么我们的下标要从1开始计数呢？

举例：当访问的区间是[0,2]时，区间内所有元素的和为dp[2]-dp[-1]，这里的dp[-1]越界。而当访问的区间是[1,2]时，区间内所有元素的和为dp[2]-dp[0],使dp[0]=0即可，不会越界。

为了处理边界情况
初始化：添加虚拟结点(辅助结点)

代码实现：

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int main() 
{
   //1.读入数据
   int n,q;
   cin>>n>>q;
   vector<int> arr(n+1);
   for(int i=1;i<=n;i++) cin>>arr[i];

   //2.预处理出来一个前缀和数组
   vector<long long> dp(n+1);//防止溢出
   for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=dp[i-1]+arr[i];

   //3.使用前缀和数组
   int l=0,r=0;
   while (q--) 
   {
        cin>>l>>r;
        cout<<dp[r]-dp[l-1]<<endl;
   }
   return 0;
}

2.二维前缀和

题目描述：

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解法一：暴力解法：模拟

时间复杂度是O(n* m *q),会超时。

解法二：前缀和解法

算法思路：

1.预处理出来一个前缀和矩阵: O(m*n)

dp[i][j]表示：从[1,1]位置到[i,j]位置，这段区间里面所有元素的和。

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2.使用前缀和矩阵: O(q)
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时间复杂度为O(m*n)+O(q).

代码实现：

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int main() 
{
    //1.读入数据
    int n=0,m=0,q=0;
    cin>>n>>m>>q;
    vector<vector<int>> arr(n+1,vector<int>(m+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>arr[i][j];

    //2.预处理前缀和矩阵
    vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(m+1));//防止溢出
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++) 
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+arr[i][j]-dp[i-1][j-1];

    //3.使用前缀和矩阵
    int x1=0,y1=0,x2=0,y2=0;
    while (q--) 
    {
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<<dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]<<endl;
    } 
    return 0;         
}