之前讲过Shamir秘密共享，目标是通过若干秘密分片恢复出原始秘密信息。本文介绍如何在不恢复秘密的前提下，计算多个秘密信息的加法和乘法。
本文只考虑两个参与方P1和P2的场景，涉及秘密x和y，介绍如何秘密计算x+y和x*y。
加法运算
加法场景比较简单，P1持有(x1, y1)，P2持有(x2, y2)，其中秘密x=x1+x2，秘密y=y1+y2
1）P1方本地计算z1=x1+y1
2）P2方本地计算z2=x2+y2
3）P1和P2交换z1和z2，很容易得到：x+y=z1+z2
三元组
乘法用到了Beaver三元组，先介绍三元组(a,b,c)，其中c=a*b。 这里的a,b,c和秘密x,y不是一回事。我们要借助a,b,c计算x*y。
首先，P1 持有(a1, b1)，P2 持有(a2, b2)，取值没有任何关系限制
需要计算 c1和c2，满足c1+c2 = (a1+a2)*(b1+b2)，令a=a1+a2, b=b1+b2, c=c1+c2，即c=a*b
展开式子：(a1+a2)*(b1+b2) = a1*b1+ a1*b2 + a2*b1 + a2*b2
其中， a1*b1由P1掌握，a2*b2 由P2掌握。借助加法同态加密算法，来计算c1和c2
1）P1生成同态公私钥对(sk, pk)
2）P1计算同态密文enc_a=Enc_pk(a1) 和 enc_b=Enc_pk(b1)，并将enc_a, enc_b和同态公钥pk发送给P2
3）P2生成随机数r，并计算同态密文 enc = Enc_pk(a1*b2 + a2*b1 + r)，将enc发送给P1
4）P1计算同态解密结果，得到a1*b2 + a2*b1 + r
5）令 c1=a1*b1 + a1*b2 + a2*b1 + r， c2=a2*b2 - r
很容易验证 c1+c2 = (a1+a2)*(b1+b2)，即c=a*b
乘法运算
1）P1方本地计算e1=x1-a1，f1=y1-b1；P2方本地计算e2=x2-a2，f2=y2-b2
2）P1和P2交换e1, f1和e2, f2，并计算e=e1+e2=x-a, f=f1+f2=y-b
3）P1方本地计算z1=f*a1+e*b1+c1，P2方本地计算z2=f*a2+e*b2+c2+ef
4）P1和P2交换z1, z2，很容易计算得到z1+z2=x*y
验证：z1+z2
= (f*a1+e*b1+c1) + (f*a2+e*b2+c2+ef)
= f*a+e*b+c+e*f
= (y-b)*a+(x-a)*b+a*b+(x-a)*(y-b)
= ay-ab+xb-ab+ab+xy-xb-ay+ab
= x*y
