全方差公式（Law of Total Variance），描述了如何通过条件期望和条件方差分解总体方差。该定理适用于任何随机变量 ( X ) 和条件随机变量 ( Y )，公式如下：

$$\text{Var}(X)=\mathbb{E}[\text{Var}(X|Y)]+\text{Var}(\mathbb{E}[X|Y])$$

解释：

• $(\mathbb{E}[\text{Var}(X|Y)]$) 是在给定$(Y$) 的条件下，$(X$) 的方差的期望值；
• $(\text{Var}(\mathbb{E}[X|Y])$) 是$(X$) 的条件期望值的方差。

这一公式反映了总方差可以拆解成两个部分：条件方差的期望 和 条件期望的方差。

在复合泊松过程的推导中，我们用这个定理分解$(X(t)$) 的方差，因此可以写成：

$$\text{Var}[X(t)]=\mathbb{E}[\text{Var}[X(t)|N(t)]]+\text{Var}[\mathbb{E}[X(t)|N(t)]].$$

这就是全方差公式在复合泊松过程中的应用。

定义：

一个复合泊松过程 ( X(t) ) 可以表示为：

$$X(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}{Y}_i$$

其中：

• $(N(t)$) 是参数为 $(\lambda$) 的泊松过程，表示在时间 ( t ) 之前发生的事件个数；
• $(Y_i$) 是独立同分布的随机变量，表示每次事件对应的增量；
• $(Y_i$) 独立于 ( N(t) )。

方差推导：

我们要求$(X(t)$) 的方差，记为 $(\text{Var}[X(t)]$)。

1. 条件期望和方差：

   • 由于 $(X(t)$) 是一个随机和，我们首先应用条件期望和方差的性质：
     $$\text{Var}[X(t)]=\mathbb{E}[\text{Var}[X(t)|N(t)]]+\text{Var}[\mathbb{E}[X(t)|N(t)]].$$

2. 条件下的期望和方差：

   • 条件期望 $(\mathbb{E}[X(t)|N(t)]=\mathbb{E}\left[{\sum }_{i=1}^{N(t)}{Y}_i|N(t)\right]=N(t)\mathbb{E}[Y]$)；
   • 条件方差 $(\text{Var}[X(t)|N(t)]=\text{Var}\left({\sum }_{i=1}^{N(t)}{Y}_i|N(t)\right)=N(t)\text{Var}[Y]$)，因为 $(Y_i$) 之间相互独立同分布。

3. 计算方差：

   • 先计算 $(\mathbb{E}[\text{Var}[X(t)|N(t)]]$)：
     $$\mathbb{E}[\text{Var}[X(t)|N(t)]]=\mathbb{E}[N(t)\text{Var}[Y]]=\lambda t\text{Var}[Y].$$
   • 再计算 $(\text{Var}[\mathbb{E}[X(t)|N(t)]]$)：
     $$\text{Var}[\mathbb{E}[X(t)|N(t)]]=\text{Var}[N(t)\mathbb{E}[Y]]=\text{Var}[N(t)](\mathbb{E}[Y]{)}^2=\lambda t(\mathbb{E}[Y]{)}^2.$$

4. 总方差：
   将两部分相加，得到复合泊松过程的方差：
   $$\text{Var}[X(t)]=\lambda t\text{Var}[Y]+\lambda t(\mathbb{E}[Y]{)}^2=\lambda t(\text{Var}[Y]+(\mathbb{E}[Y]{)}^2).$$

因此，复合泊松过程的方差为：

$$\text{Var}[X(t)]=\lambda t\mathbb{E}[Y^2].$$

这个结果表明，复合泊松过程的方差随着时间 ( t ) 线性增长，增长率与泊松过程的强度 $(\lambda$) 和增量随机变量 $(Y$) 的二阶矩 $(\mathbb{E}[Y^2]$) 成正比。