最长公共子序列问题就是求出两个字符串的LCS长度，是一道非常经典的面试题目，因为它的解法是典型的二维动态规划。

        比如输入 str1 = "babcde", str2 = "acbe"，算法应该输出3，因为 str1 和 str2 的最长公共子序列是 "ace"，它的长度是3。

        子序列类型的问题，穷举出所有可能的结果都不容易，而动态规划算法做的就是穷尽+剪枝，它俩天生一对。所以可以说只要涉及子序列问题，十有八九需要动态规划来解决，往这方面考虑就对了。

动态规划思路

第一步，一定要明确dp数组的含义

        对于两个字符串的动态规划问题，套路都是通用的，一般都需要一个二维dp数组。比如对于字符串 str1 和 str2，一般来说要构造一个这样的 DP table：

        其中，dp[i][j]的含义是：对于 str1[0...i-1] 和 str2[0...j-1]，它们的LCS长度是 dp[i][j]。

        上图这个例子，dp[2][4] = 2 的含义就是：对于 "ac" 和 "babc"，它们的LCS长度是2。根据这个定义，最终想得到的答案应该是 dp[3][6]。

第二步，定义base case

        专门让索引为0的行和列表示空串，dp[0][..]，dp[..][0]都应该初始化为0，这就是 base case。比如按照刚才dp数组的定义，dp[0][3]=0 的含义是：对于空字符串 "" 和 "bab"，其LCS的长度为0。因为一个字符串是空串，它们的最长公共子序列的长度显然应该是0。

第三步，找状态转移方程

        很简单，做两种选择，要么在lcs中，要么不在。

        如果 str1[i] == str2[j]，说明这个公共字符一定在lcs中。

        if str[i] == str[j]:

                dp(i, j) = dp(i-1, j-1) + 1

        如果 str1[i] != str2[j]，说明 str[i] 和 str[j] 至少有一个不在lcs中，那么到底哪个字符不在lcs中？都试一下呗：

        if str1[i] != str2[j]:

                dp(i, j) = max(dp(i-1, j), dp(i, j-1))

第四步，直接写暴力解法

        首先写一个递归解法：

package DynamicProgramming;
// leetcode 095 最长公共子序列

// 暴力解法 (提交超出时间限制)
public class LCS {

    private String text1;
    private String text2;

    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        this.text1 = text1;
        this.text2 = text2;
        // 计算str1[0...i-1]和str2[0...j-1]中的lcs长度
        return dp(text1.length() - 1, text2.length() - 1);
    }

    public int dp(int i, int j) {
        // 递归终止条件
        // 空串的 base case
        if (i == -1 || j == -1) {
            return 0;
        }
        // 递归操作
        // 状态转移方程
        if (text1.charAt(i) == text2.charAt(j)) {
            // 这边找到一个lcs中的元素
            return dp(i - 1, j - 1) + 1;
        } else {
            // 至少有一个字符不在lcs中
            // 都试一下，谁能让lcs最长，就听谁的
            return Math.max(dp(i - 1, j), dp(i, j - 1));
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        LCS lcs = new LCS();
        int len = lcs.longestCommonSubsequence("babcde", "acbe");
        System.out.println(len);
    }

}

第五步，引入 DP table 来优化时间复杂度

// 引入dp table
public class LCS {

    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        // 1.定义dp table
        int m = text1.length();
        int n = text2.length();
        // 要算上表示空串的行列
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];

        // 2.base case int型的数组默认值都是零，所以这一步可以没有

        // 3.状态转移方程
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                // 状态转移逻辑
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        LCS lcs = new LCS();
        int len = lcs.longestCommonSubsequence("babcde", "acbe");
        System.out.println(len);
    }

}