数学建模强化宝典（13）M-K检验法

前言

M-K检验法，全称为Mann-Kendall检验法，是一种非参数的假设检验方法，广泛应用于时间序列数据的趋势性变化检验，特别是气候序列中的趋势分析和突变点检测。以下是对M-K检验法的详细介绍：

一、定义与背景

M-K检验法由Frank Mann和Donald R. Kendall提出并发展，因此得名Mann-Kendall检验法。该方法不依赖于数据的具体分布形式，能够处理含有异常值和非正态分布的数据，非常适合于气候、水文、环境等领域的时间序列数据分析。

二、基本原理

M-K检验法的基本原理是通过比较每个数据点与其之前数据点的大小，来检测时间序列数据中的单调趋势（上升、下降或没有趋势）。具体步骤如下：

构造秩序列：对于时间序列中的每一个数据点，计算其之前所有数据中比它大或小的数据点个数，从而构造出一个秩序列。
计算统计量：基于秩序列，计算统计量UFk（正向序列）和UBk（反向序列），这两个统计量用于评估时间序列的趋势性和突变点。
显著性检验：将UFk和UBk与设定的显著性水平（如0.05）对应的临界值进行比较，判断趋势是否显著，以及是否存在突变点。

三、应用领域

M-K检验法广泛应用于以下领域：

气候变化研究：用于检测气候序列中的趋势变化和突变点，如气温、降水等气候要素的变化趋势。
水文水资源研究：分析河流流量、地下水位等水文要素的时间序列数据，评估其变化趋势和突变情况。
环境科学研究：在环境监测和评估中，利用M-K检验法分析污染物浓度、环境质量等指标的变化趋势。

四、优点与局限性

优点：

非参数检验：不依赖于数据的具体分布形式，适用于各种类型的时间序列数据。
抗干扰能力强：对异常值不敏感，能够较好地处理非正态分布的数据。
计算简便：计算过程相对简单，易于实现自动化处理。

局限性：

无法确定趋势形式：M-K检验法只能判断时间序列是否存在单调趋势，但无法确定趋势的具体形式（如线性、非线性等）。
对周期性变化不敏感：对于存在周期性变化的时间序列数据，M-K检验法的检测效果可能不佳。

五、实现

下面是一个简单的MATLAB函数，用于执行Mann-Kendall趋势检验，并计算统计量UFk（正向序列）以及可选的UBk（反向序列，用于确定突变点）：

function [UF, UB, pValue] = mannKendall(x)  
    % 输入:  
    % x - 时间序列数据向量  
    %  
    % 输出:  
    % UF - 正向序列的Mann-Kendall统计量  
    % UB - 反向序列的Mann-Kendall统计量（可选）  
    % pValue - 对应的p值（此函数不直接计算，通常需要查表或使用其他方法）  
  
    n = length(x);  
    s = 0;  
    varS = 0;  
    UF = zeros(1, n);  
  
    % 初始化  
    for k = 2:n  
        for j = 1:k-1  
            if x(k) > x(j)  
                s = s + 1;  
            elseif x(k) < x(j)  
                s = s - 1;  
            end  
        end  
        UF(k) = (s - k * (k - 1) / 2) / sqrt(k * (k - 1) * (2 * k + 5) / 18);  
        varS = varS + s^2;  
        s = 0;  
    end  
  
    % UB的计算需要反向序列  
    UB = zeros(1, n);  
    if nargout > 2  
        % 计算方差  
        varS = (n * (n - 1) * (2 * n + 5) / 18) - varS;  
        if varS == 0  
            varS = 1; % 避免除以零  
        end  
          
        % 反向序列  
        y = fliplr(x);  
        for k = 2:n  
            UB(k) = -UF(n+1-k); % 利用正向序列的结果  
            % 注意：这里直接利用UF的结果进行转换，实际上UB的计算需要完整重复上述过程，  
            % 但对于标准Mann-Kendall测试，通常只关注UF，UB用于确定突变点  
        end  
          
        % 标准化UB  
        UB = UB / sqrt(varS / 18);  
    end  
  
    % 注意：此函数不直接计算p值，通常需要查表或使用统计软件  
    pValue = NaN; % 占位符  
end

注意：

上述代码主要计算了UF统计量，并可选地计算了UB统计量（虽然UB的计算是基于UF的简化，实际中可能需要独立计算）。
p值的计算通常不是直接通过M-K统计量本身进行的，而是需要参考相应的统计表或使用专门的统计软件/函数。
对于趋势的显著性判断，通常需要将UF或UB的值与一定的显著性水平（如α=0.05对应的临界值）进行比较。
在实际应用中，你可能还需要对时间序列进行预处理，如去趋势、季节性调整等，以提高M-K检验的准确性。