行列式是什么-运算规则

• 排列：不同的 n 元排列共有 n! 个

• 逆序：小数排在大数后面，叫逆序；一个排列中逆序的总和叫做这个排列的逆序数，记为 $\tau (j_1,...,j_n)$

• 逆序数的计算方法：
  

• 奇排列和偶排列：逆序数为偶数的排列为偶排列，逆序数为奇数的排列为奇排列

【举例】求排列 n(n-1) … 321 的逆序数

最终计算借助等差数列求和公式：$S_n=(n(a_1+a_n))/2$

【注🧨】 记住公式：$((n-1)n)/2$

行列式的定义

• 行列式是一个 n 行 n 列的方阵
• 行列式的计算结果是一个数，称为行列式值
• 二阶和三阶行列式的计算遵循对角线法则，且对角线法则只适用于二阶行列式和三阶行列式
• 三阶行列式的计算公式：①主对角线同方向的元素相加，减去副对角线同方向的元素，几阶同方向划线的元素就有几个
  
  ②加项的逆序数是偶数，减项的逆序数是奇数，列标是 $j_1,j_2,j_3$ 的某种排列组合（是看列标的逆序数），行标顺排
• n 阶行列式的计算：行标顺排，加项的逆序数是偶数，减项的逆序数是奇数，列标是 $j_1,j_2,j_3$ 的某种排列组合，取过的列不要取了，一共有 n! 项

【例题】

5 阶行列式 $D_5$ 展开式中有一项 $a_{15}{a}_{52}{a}_{44}{a}_{31}{a}_{23}$，此项的符号为：负号，逆序数为 7

【题型🔴】问几次方的系数和常数项

系数：从行开始，从 $a_{11}$ 开始，$a_{11}$ 所在行列元素不看，看剩下元素与 $a_{11}$ 相乘是否能得到题设的次方项，能得到写出元素顺序，并乘以（-1）的列表的逆序数次方
常数项：常数项其实是当所有的未知数地方都得 0，计算行列式的结果
真题：2021 数三 15 题

行列式的性质

1. 行列式的行与列（按原顺序）互换（转置），行列式的值不变
2. 行列式的两行（列）互换，行列式的值反号（添负号）–（对换）

• 【推论：】如果行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为零

3. 行列式的某行（列）每个元素都乘常数 k，则等于用 k 乘此行列式的值–（提公因子）

• 【推论：】
  • 若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式的值为零
  • 若行列式中某行（列）有公因子 k，则可将 k 提到行列式外
  • 若行列式中两行（列）对应元素成比例，其值为零

4. 如果行列式某行（列）元素都写成两数之和，则该行列式可以写成两个行列式之和–（行列式的拆分）

⭐5. 将行列式的某行（列）的每个元素都乘常数 k，再加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变 --（恒等变形【倍加】）符号表示：$r_j+k{r}_i$，被操作行/列写在前面，只动第 j 行（固定写法）
【应用】适用于任何 n 阶行列式化三角形

⭐拉普拉斯公式（分块三角行列式）

• C 不一定是方阵也可以使用拉普拉斯公式

行列式按行/列展开定理

1. 余子式和代数余子式

【注】

• 余子式和代数余子式都是行列式，结果都是一个数值
• 余子式和代数余子式值与 $a_{ij}$ 的具体取值无关，只与 $a_{ij}$ 的位置有关

• 余子式 $M_{ij}$：在 n 阶行列式中，把元素 $a_{ij}$ 所在的第 i 行第 j 列划去后，由剩余的元素按原位置顺序所构成的 n-1 阶行列式，称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$

• 代数余子式 $A_{ij}$：$(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ 称为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$，即 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

• 应用：行列式计算

2. 行列式按行/列展开定理（目的：降阶）

【定理】：行列式的值等于其任一行/列的各元素与其对应代数余子式的乘积之和
【适用】：选 0 多的行/列展开，0 不够多，就先化零，然后再展开

按行还是按列，看哪个不动，另一个递增

行列式的计算

常见行列式计算

计算行列式的常见题型和方法

1. 化零降解法 （坚守原则：“打洞”，“降阶”）

【方法】：先利用性质将行列式的某一行或某一列化到只有一个元素不为 0，再用行列式展开定理化为低一阶的行列式（化零降阶法是计算行列式的主要方法）

【题型🔴】一点两斜—方法：按“.”所在行/列展开

【例题】

⭐2. 化三角形行列式
⭐⭐【类型 1】各行/列元素之和相等的行列式（各行全部加到第一行/列）

【例题】

【固定解题流程】
①各行加至第一行

②提公因子

③各行减第一行 $r_1$，化三角形

【类型 2】爪型行列式（各行倍加到第一行，“消去平爪”）
【例题】

【固定解题流程】第二个非零，用第二行乘一个倍数加到第一行，第三个非零用第三行…，依此类推，第一个元素承受所有

【类型 3】三对角行列式（逐行相减，化三角行列式）–主/副对角线有非零元，最近的平行线有非零元，其余部分均为 0

常见方法有：化三角形（低阶）、递推法（n 阶）、数学归纳法（n 阶）

【例题】

【方法】递推法
#todo待补充

【方法】数学归纳法

数学归纳法是证明（计算）行列式常用的方法，首先建立递推关系，当递推关系仅涉及相邻两阶行列式时 $D_n=2D_{n-1}+1$，采用第一归纳法；当递推关系涉及相邻三阶行列式时 $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$，采用第二归纳法

第一数学归纳法
①设有一个与自然数 n 有关的命题，若当 n=1 时命题成立（$D_1$）
②假设当 n=k 时命题成立，可以推出当 $n=k+1$ 时命题成立
那么命题对一切自然数 n 都成立

第二数学归纳法
设有一个与自然数 n 有关的命题，若
①当 n=1 和 n=2 时命题成立
②假设对 $n<k$ 的一切自然数都成立，则 n=k 时命题也成立
那么命题对一切自然数 n 都成立

⭐【类型 4】范德蒙行列式

后减前

【识别】范德蒙行列式特点
1）第一行全为 1
2）第二行随便写
3）第三行往下的行依次升幂排列 （2，3 总结：构成一个以 $x_i$ 为公比的等比数列）

【应用】例题：

• 将最后一行换到第一行，其他行顺序不变，方法：逐行对换，注意负号（最后一行 n，然后 n-1, 然后 n-2 直到第一行）
• 此时新行列式的值 $(-1{)}^{n-1}{D}_n$，与原行列式的值 $D_n$，注意符号