推导虚功方程的过程

弹性力学的平衡方程

在张量形式中，平衡方程为：

$\nabla \cdot \sigma +b=0$

用下标表示为：

$\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial x_j}+b_i=0$

其中，${\sigma }_{ij}$ 是应力张量的分量，$b_i$ 是体积力的分量。

平衡方程弱形式

我们乘以一个任意的虚位移场 $v_i$ 并在整个体积 $\Omega$ 上积分：

${\int }_{\Omega }\left(\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial x_j}+b_i\right)v_{i}d\Omega =0$

展开得到：

${\int }_{\Omega }\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial x_j}{v}_{i}d\Omega +{\int }_{\Omega }{b}_i{v}_{i}d\Omega =0$

对第一个积分项使用分部积分

对第一个积分项 ${\int }_{\Omega }\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial x_j}{v}_{i}d\Omega$ 使用分部积分和微分乘法法则，将导数从应力张量 ${\sigma }_{ij}$ 转移到虚位移场 $v_i$ 上。

${\int }_{\Omega }\left(v_i\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial x_j}+{\sigma }_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)d\Omega ={\int }_{\Omega }\frac{\partial ({\sigma }_{ij}{v}_i)}{\partial x_j}d\Omega$

根据高斯散度定理有：

${\int }_{\Omega }\frac{\partial ({\sigma }_{ij}{v}_i)}{\partial x_j}d\Omega ={\int }_{\partial \Omega }{\sigma }_{ij}{v}_i{n}_{j}dS$

这里，$\partial \Omega$ 是体积 $\Omega$ 的边界，$n_j$ 是边界上的单位外法向量。因此，我们可以将第一个积分项写成：

${\int }_{\Omega }{v}_i\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial x_j}d\Omega ={\int }_{\partial \Omega }{\sigma }_{ij}{v}_i{n}_{j}dS-{\int }_{\Omega }{\sigma }_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}d\Omega$

代入平衡方程弱形式

将上面分部积分得到的公式带入到平衡方程弱形式可得：

${\int }_{\Omega }{\sigma }_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}d\Omega ={\int }_{\partial \Omega }{\sigma }_{ij}{v}_i{n}_{j}dS+{\int }_{\Omega }{b}_i{v}_{i}d\Omega$

根据边界条件：

• 在边界 $\partial {\Omega }_t$ 上有应力边界条件 ${\sigma }_{ij}{n}_j=t_i$
• 在边界 $\partial {\Omega }_u$ 上有位移边界条件 $u_i=u_{0i}$

最终虚功原理(虚位移原理)

结合体积力项和边界条件，得到弱形式：

${\int }_{\Omega }{\sigma }_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}d\Omega ={\int }_{\partial {\Omega }_t}{t}_i{v}_{i}dS+{\int }_{\Omega }{b}_i{v}_{i}d\Omega$

由应力张量的对称性

${\sigma }_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=\frac{1}{2}({\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ji})\frac{\partial v_i}{\partial x_j}={\sigma }_{ij}\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i})$

最终，平衡方程的弱形式为：

${\int }_{\Omega }{\sigma }_{ij}{ϵ}_{ij}d\Omega -{\int }_{\Omega }{b}_i{v}_{i}d\Omega -{\int }_{\partial {\Omega }_t}{t}_i{v}_{i}dS=0$

如果将上面的$v_i$写成位移的变分形式可以得到如下的虚功方程

${\int }_{\Omega }\sigma :\delta ϵd\Omega ={\int }_{\Omega }b\cdot \delta ud\Omega +{\int }_{\partial {\Omega }_t}t\cdot \delta udS$

总结

虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分“弱”形式。虚位移原理的力学意义是：如果力系(包括内力和外力)是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作之功的总和为零。反之，如果力系在虚位移及虚应变上所作之功的和等于零，则它们一定是满足平衡的，所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。