Caterpillar on a Tree

首先一个很显然的地方就是使用传送门肯定是在叶子节点使用,我们来考虑一下整个过程是怎么样的

为了方便,我们不妨假设可以传送回根节点\(k+1\)次,然后要求最后回到根节点

我们先从根节点走到某一个叶子结点,然后再从这个叶子节点走到另一个叶子节点,然后继续走到另一个叶子节点,一直这么下去,最后从某一个叶子结点传送回根节点,然后再重复类似的过程

于是可以知道,我们如果已经知道了叶子节点的访问顺序,我们只需要决定在哪两个叶子节点之间使用传送即可,而且不同相邻叶子节点之间决定是否使用传送是独立的

于是我们尝试写出如果使用传送,代价会减少多少

所以我们对于某一个确定的顺序,对于每个相邻的叶子节点之间,算出\(dst\)数组,然后将\(dst\)数组从大到小排序,选出前\(k+1\)大的即可

所以现在的问题变成,我们如何排序

观察减少的代价,我们很容易想到让\(dep[u]\)尽量大,\(dep[lca]\)尽量小,于是一个naive的排序方法就出来了:对某个节点,其儿子集合为\(S\),设\(v∈S\)\(maxdep[v]\)表示从\(v\)到其叶子节点的最长路,那么对这个节点,将其儿子以\(maxdep\)为关键字从大到小进行排序就可以了

这个的严格证明见官方题解

像这种排序的,“梅深不见冬”也是类似题目

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