【高中数学/基本不等式】已知：x,y皆为正实数，且满足2x+y=1 求：1/x+1/y的最小值？

【问题】

已知：x,y皆为正实数，且满足2x+y=1  求：1/x+1/y的最小值？

【解答】

解法一：（基本不等式法）

这个问题貌似无从下手，实际把分子的1替换成2x+y就出现我们熟悉的适合基本不等式发挥的场景了。

1/x+1/y=(2x+y)/x+(2x+y)/y=2+y/x+2x/y+1=3+y/x+2x/y>=3+2倍根号下(y/x*2x/y)=3+2倍根号2≈5.828

由于2x+y=1且下x,y皆大于0，故此最小值是取自x∈(0,0.5)区间。

解法二：(判别式法)

由y=1-2x得

f(x)=(x+y)/xy=(x+1-2x)/x/(1-2x)=(1-x)/(x-2x^2)

将f(x)用y替换得y=(1-x)/(x-2x^2)

展开得 2y*x^2-(1+y)*x+1=0

将y视为常数，上式的判别式Δ=(1+y)^2-4*2y=y^2-6y+1

由此得到y=3±2倍根号2，一根≈5.828，一根≈0.172

从几何意义上来说，函数图像与直线y=3±2倍根号2只有一个交点即相切。

此两切点必是函数分区段的最值。

【函数图像】

由基本不等式法得到了x,y皆大于零时,表达式1/x+1/y的最小值3+2倍根号2

由判别式法除了上述结论，还得出另一个最大值3-2倍根号2

究竟真相如何还需要绘出实际的函数图像来判断。

由y=1-2x代入得f(x)=1/x+1/(1-2x)

有此表达式我们就能轻松绘出函数图像

由分母部分可见，x不能等于0或0.5，因此图线有两个断点，会被分为（-∞,0）∪(0,0.5)∪(0.5,+∞)三部分

实际函数图像如下：

由上图可见，在（-∞,0）区间，函数单调递减，无最大最小值（图上出现max是因为取值范围所限）；

在(0,0.5)区间，最小值是5.829，这个结论两种方法都得到了；

在(0.5,+∞)区间，函数有最大值0.172，这个结论由判别式法找到了。

【代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
     <title>UNASSIGNED</title>
     <style type="text/css">
     .centerlize{
        margin:0 auto;
        border:0px solid red;
        width:1200px;height:600px;
     }
     </style>
     </head>

     <body οnlοad="draw();">
        <div class="centerlize">
            <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
                如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
            </canvas>
        </div>
     </body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/

// 系统常量定义处
const TITLE="函数y=1/x+1/(1-2x) 图线展示";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const ScaleUnit=25;                    // 缩放比例

// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 消逝的时间

//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
    document.title=TITLE;

    // 画图前初始化
    var canvas=document.getElementById('myCanvas');    
    canvas.width=WIDTH;
    canvas.height=HEIGHT; 
    context=canvas.getContext('2d');  
    
    // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
    // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
    // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
    context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
    context.rotate(Math.PI);
    context.scale(-1,1);

    // 初始化舞台
    stage=new Stage();

    // 开始动画
    animate();
};

//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    
    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1

    stage.update(timeElapsed);
    stage.paintBg(context);
    stage.paint(context);

    if(timeElapsed<2400){        
        window.requestAnimationFrame(animate);
    }
}

//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
    var obj=new Object;

    obj.curve1={
        name:"曲线:y=1/x+1/(1-2x)",
        x:-12,
        y:0,
        color:"maroon",
        setY:function(x){
            this.y=1/x+1/(1-2*x);// 解析式

            // 制成坐标
            let coord={"x":x,"y":this.y};

            if(coord.x<0){
                this.pts0.push(coord);
            }else if(0<coord.x && coord.x<0.5){
                this.pts1.push(coord);
            }else if(coord.x>0.5){
                this.pts2.push(coord);
            }
        },
        "pts0":[],
        "pts1":[],
        "pts2":[],
    };

    // 随时间更新位置
    obj.update=function(t){
        // 记录曲线1的xy值
        obj.curve1.x+=0.01;
        obj.curve1.setY(obj.curve1.x);        
    };

    // 画前景
    obj.paint=function(ctx){  
        // 写曲线名称
        drawText(ctx,this.curve1.name,-400,145,this.curve1.color,18);

        // 写当前点坐标
        drawText(ctx,"当前 X:"+this.curve1.x.toFixed(3)+"  Y:"+this.curve1.y.toFixed(3),-400,125,this.curve1.color,18);

        // 绘制第一段曲线
        paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts0);
        var mm=findMaxMin(this.curve1.pts0);
        markMaxMin(ctx,mm,"black");
        
        // 绘制第二段曲线
        paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts1);
        var mm=findMaxMin(this.curve1.pts1);
        markMaxMin(ctx,mm,"black");

        // 绘制第三段曲线
        paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts2);
        var mm=findMaxMin(this.curve1.pts2);
        markMaxMin(ctx,mm,"black");
    };

    // 画背景
    obj.paintBg=function(ctx){
        // 清屏
        ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
        ctx.fillStyle="white";
        ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);

        // 画X轴
        drawAxisX(ctx,-600,600,50);

        // 画Y轴
        drawAxisY(ctx,-300,300,50);

        // 画网格线
        drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"lightGrey");
        
        // 左上角标题
        var metrics = ctx.measureText(TITLE);
        var textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth,HEIGHT/2-30,"grey",18);

        // 右下角作者，日期
        const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
        metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
        textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
    };
    
    return obj;
}

// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.beginPath();     
    for(var i=0; i<cds.length; i++){
        let y=cds[i].y;
        if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){
            ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);
        }
    }     
    ctx.stroke();        
}

// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
    if(cds.length<1){
        return null;
    }

    var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};

    for(var i=0;i<cds.length;i++){
        var y=cds[i].y;

        if(y>retval.max){
            retval.max=y;
            retval.max_x=cds[i].x;
        }

        if(y<retval.min){
            retval.min=y;
            retval.min_x=cds[i].x;
        }
    } 

    return retval;
}

// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
    if(mm==null){
        return;
    }

    // 最大值
    var x=mm.max_x;
    var y=mm.max;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,"black",12);

    // 最小值
    var x=mm.min_x;
    var y=mm.min;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,"black",12);
}

// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
      ctx.save();

      ctx.beginPath();
      ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
      ctx.fillStyle=color;
      ctx.fill();
      ctx.stroke();

      ctx.restore();
}

// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    ctx.save();

    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;

    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1,y1);
    ctx.lineTo(x2,y2);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    ctx.restore();
}

// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle='navy';
    ctx.fillStyle='navy';

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(start, 0);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    y=5;
    for(x=start;x<end;x+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, 0);
        ctx.lineTo(x, y);
        
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();

        drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12);
    }

    ctx.restore();
}

// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle='navy';
    ctx.fillStyle='navy';

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(0, start);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    x=5;
    for(y=start;y<end;y+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y);
        ctx.lineTo(0, y);
        
        drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12);

        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.setLineDash([4,4]);// 设置虚线

    var x,y;
    for(x=x1;x<x2;x+=step1){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
    return degree/180*Math.PI;
}

//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
    var arr=[
        "aqua"/* aqua湖绿色*/,
        "black"/* black黑色*/,
        "blue"/* blue蓝色*/,
        "fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,
        "green"/* green 绿色*/,
        "grey"/* grey 草木灰*/,
        "lime"/* lime 亮绿色*/,
        "maroon"/* maroon 棕色*/,
        "navy"/* navy 海军蓝*/,
        "orange"/* orange 橙色*/,
        "purple"/* purple 紫色*/,
        "red"/* red 大红*/,        
        "skyblue"/* skyblue 天蓝*/,
        "teal"/* teal 蓝绿色*/,
        "yellow"/* yellow 亮黄*/,
        "#aa0000"/* #aa0000 铁锈红*/,        
    ];

    if(index>arr.length){
        index=index % arr.length;
    }

    return arr[index];
}

//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
    ctx.save();
    ctx.translate(x,y)
    ctx.rotate(getRad(180))
    ctx.scale(-1,1)

    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.font = size+"px consolas";

    ctx.fillText(text,0,0);
    ctx.restore();
}
//-->
/**************************************
* 一个再出色的人，长期再差的关系和环境
* 中浸泡沤烂，也会变得暗淡无光、神经兮兮
* 、歇斯底里，人要到托举和滋养他的地方去。
* 身在井隅，心向璀璨。
**************************************/
</script>

END

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说明&#xff1a;我们参考黄金圈学习法&#xff08;什么是黄金圈法则?->模型 黄金圈法则&#xff0c;本文使用&#xff1a;why-what&#xff09;来学习音H264视频编码。本系列文章侧重于理解视频编码的知识体系和实践方法&#xff0c;理论方面会更多地讲清楚 音视频中概念的…
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【机器学习】机器学习重塑广告营销：精准触达，高效转化的未来之路

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&#x1f4dd;个人主页&#x1f339;&#xff1a;Eternity._ &#x1f339;&#x1f339;期待您的关注 &#x1f339;&#x1f339; ❀目录 &#x1f4d2;1. 引言&#x1f4d9;2. 机器学习基础与广告营销的结合&#x1f9e9;机器学习在广告营销中的核心应用领域&#x1f339;用…
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cf 7.7

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Problem - C - Codeforces 大致意思&#xff1a; 找前缀&#xff0c;排序后使得本位之前数字和等于该位 &#xff08;以下代码超时了&#xff09; #include<bits/stdc.h> typedef long long ll;#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0) const ll …
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阿里云存储应用

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如何做好权限控制 小浩在梳理门户网站静态资源时&#xff0c;发现有些资源是仅内部员工可访问&#xff0c;有些资源是特定的注册客户可访问&#xff0c;还有些资源是匿名客户也可以访问。针对不同场景、不同用户&#xff0c;小浩该如何规划企业门户网站静态资源的权限控制呢&a…
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